5內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)(ppt34頁)-展示頁
2025-01-16 18:52本頁面
【正文】 返回 結(jié)束 第 2頁 1 內(nèi)積與內(nèi)積空間 一、內(nèi)積空間與希爾伯特空間的概念 定義 1 設(shè) H是數(shù)域 K上的線性空間 ，定義函數(shù), 注 ： 1) 當(dāng)數(shù)域 K為實(shí)數(shù)域時(shí)，稱 H為實(shí)的內(nèi)積空間； 當(dāng)數(shù)域 K為復(fù)數(shù)域 C時(shí)，則稱 H為復(fù)的內(nèi)積空間。00,0, )1 ???? xxxxx 且。, )3zxzxzyzxzyx?? ????。, )2 zxyxzyx ???? ???機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 3頁 2 由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)及由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離 定義 2 (1) 范數(shù) xxx ,? 稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)。 (2) 內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的等式關(guān)系： )(41, 2222 iyxiiyxiyxyxyx ??????????(3) 由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)滿足范數(shù)公理 ?內(nèi)積空間按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) ,是線性賦范空間。 4 希爾伯特空間 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 5頁 例 1 n維歐氏空間 Rn按照內(nèi)積 ?????nkkk yxyx1, 是內(nèi)積空間。 是 Banach空間， 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 6頁 l 2按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) ?????12kkxx是 Banach空間，因而是 Hilbert空間。 (許瓦茲不等式 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 7頁 例 3 L2[a,b]空間按照內(nèi)積 dttytxyx ba???? )()(, 是內(nèi)積空間。 L2[a,b]中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為 212)()(,),( ?????? ??????? ?ba tytxyxyxyx?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 8頁 ?C[a,b]中范數(shù)不滿足平行四邊形公式， 例 4 C[a,b]按照范數(shù) 是線性賦范空間， )(m ax],[ txx bat?? ?但 C[a,b]不是內(nèi)積空間 . 證 取 x =1, y =(ta)/(ba)?C[a,b] ?||x||=1, ||y||=1 ?||x+y||=max|1+(ta)/(ba)|=2, ||xy||=max|1(ta)/(ba)|=1 ?||x+y||2+||xy||2=5?4=2(||x||2+||y||2) ?因而不是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) ?C[a,b]不是內(nèi)積空間 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 9頁 5 內(nèi)積空間中的極限 證 xn?x ?||xnx|| ?0 yn?y ?||yny|| ?0 ?|xn,yn x,y ? |xn,yn x,yn| +|x,yn x,y| ?||xnx|| ||yn|| + ||x|| ||yny||?0 ?xn,yn ?x,y (n??) ??????????????? ????????? yxyxyxxxx nnnnn ,li m0,li m,定義 4 （極限）設(shè) X是內(nèi)積空間， ?{xn}?X, x?X 及 y?X, 定理 2 設(shè) H是希爾伯特空間，則 H中的內(nèi)積 x,y是 x,y的連續(xù)函數(shù) , 即 ?{xn}、 {yn}?H, x, y?H, 若 xn?x, yn?y, 則 xn,yn?x,y. 注 ：距離函數(shù)、范數(shù)、內(nèi)積都是連續(xù)函數(shù) （線性運(yùn)算對內(nèi)積的連續(xù)性） 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 10頁 6 內(nèi)積空間的完備化 定義 5 (內(nèi)積空間的同構(gòu) ) 設(shè) X,Y是同一數(shù)域 K上的內(nèi)積空間，若存在映射 T: X?Y,保持線性運(yùn)算和內(nèi)積不變 ,即 ?x,y?X, ??, ??K,有 (1) T(?x+?y)=?Tx+?Ty, (2) Tx,Ty=x,y 則稱內(nèi)積空間 X與 Y同構(gòu) ,而稱 T為內(nèi)積空間 X到 Y的同構(gòu)映射。 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 11頁 二、內(nèi)積空間中的正交分解與投影定理 在解析幾何中，有向量正交和向量投影的概念，而且兩個(gè)向量正交的充分必要條件是它們的內(nèi)積等于 0，而向量 x在空間中坐標(biāo)平面上的正交投影向量 x0是將向量的起點(diǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)，過向量的終點(diǎn)做平面的垂線所得的垂足與原點(diǎn)之間的有向線段而得到的。這時(shí)稱x=x0+x1為 x關(guān)于做表面的正交分解。其中的投影定理是一個(gè)理論和應(yīng)用上都極其重要的定理，利用投影定理可以將內(nèi)積空間分解成兩個(gè)字空間的正交和。在實(shí)際應(yīng)用中，投影定理還常被用來判定最佳逼近的存在性和唯一性。 (2) x?M ??y?M, 都有 x,y =0。 事實(shí)上， ||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re(x,y) 2） 在實(shí)內(nèi)積空間中， x?y?||x+y||2=||x||2+||y||2， 即 勾股定理 成立 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第 13頁 定義 6 (正交補(bǔ) ) 設(shè) H是內(nèi)積空間 ,M?H, 稱集合 M?={x| x?y, ?y?M} 為 M在 H中的正交補(bǔ)。 2 正交分解與正交投影 定理 14 (投影定理 ) 設(shè) M是希爾伯特空間 H的閉線性子空間 ,則對 ?
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