【正文】 k ? ? 兩邊乘 1k，可得 1 1 1( ) ( ) 0 0kkk k k? ? ?? ? ? ?． 設(shè) V為數(shù)域 P上的線性空間， ，進(jìn)一步可證明如下性質(zhì)． PkV ?? ,?在線性代數(shù)中，對(duì)于 n 維向量空間 nR 中的向量組，介紹了一系列重要概念 ，如線性組合、線性相 關(guān)與線性無關(guān)等．這些概念以及有關(guān)的性質(zhì)只涉及線性運(yùn)算 ，因此不難將這些概念和性質(zhì)完全平行地搬到 線性空間上來． 定義 1 . 1 . 2 設(shè)12, , , m? ? ?是數(shù)域 P 上的線性空間 V 中的一組 向量，12, , , mk k k是 數(shù)域 P 中的一組數(shù)， 如果 V 中 向量 ? 可以表示為 1 1 2 2 mmk k k? ? ? ?? ? ? ?， 則稱 ? 可由12, , , m? ? ?線性表示，也稱向量 ? 是12, , , m? ? ?的一個(gè)線性組合 ． 線性空間中向量的線性相關(guān)性 定義 1 . 1 . 3 設(shè)12, , , m? ? ?及12, , , s? ? ?是數(shù)域 P 上的線性空間 V 中 兩個(gè)向量組，如果12, , , m? ? ?中的每個(gè)向量都能由向量組12, , , s? ? ?線性表示，則稱向量組12, , , m? ? ?可由向量組12, , , s? ? ?線 性 表 示 ； 如 果 向 量 組12, , , m? ? ?與 向 量 組12, , , s? ? ?可以相互線性表示，則稱向量組12, , , m? ? ?與12, , , s? ? ?是等價(jià)的 容易證明向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有如下性質(zhì)． （ 1 ）反身性 每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià)； （ 2 ）對(duì)稱性 如果向量組12, , , m? ? ?與12, , , s? ? ?等價(jià)，則向量組12, , , s? ? ?與12, , , m? ? ?等價(jià)； （ 3 ）傳遞性 如果向量組12, , , m? ? ?與12, , , s? ? ?等價(jià)，且向量組12, , , s? ? ?與12, , , t? ? ?等價(jià)，則向量組12, , , m? ? ?與12, , , t? ? ?等價(jià) 定義 1 . 1 . 4 設(shè)12, , , m? ? ?是數(shù)域 P 上的線性空間 V 中的一組向量，如果存在一組不全為零的數(shù)12, , , mk k k P?，使得等式 02211 ???? mmkkk ??? ? （ 1 . 1 . 1 ） 成 立 ， 則 稱 向 量 組12, , , m? ? ?線 性 相 關(guān) ， 否 則 稱 向 量 組12, , , m? ? ?線性無關(guān) ． 由這定義得知，如果向量12, , , m? ? ?線性相關(guān)，則使得 （ 1 . 1 . 1 ）成立的數(shù)12, , , mk k k中至少有一個(gè)不等于零，比如1 0k ?，則有 21211mmkkkk? ? ?? ? ? ?， 這時(shí)我們說向量1?是2 , m??的線性組合，或者說向量1?可由2 , m??線性表示． n維向量空間 Rn及其子空間的基與維數(shù)的概念，可以推廣到一般的線性空間中． 基與維數(shù)的概念 定義 1 . 2 . 1 設(shè) V 是數(shù)域 P 上的一個(gè)線性空間， 如果 V 中存在 r 個(gè)向量r??? , 21 ?滿足 （ 1 ）r??? , 21 ?線性無關(guān)； （ 2 ） V 中任一向量 ? 總可由r??? , 21 ?線性表示， 那么r??? , 21 ?稱為線性空間 V 的一個(gè)基， r 稱為線性空間 V 的維數(shù)，記為 d i m Vr ? ．維數(shù)為 r 的線性空間稱為 r 維線性空間，記為 rV ． 若線性空間 V中能求得任意個(gè)數(shù)的線性無關(guān)的向量，則稱 V為 無限維的線性空間 ．本書主要討論 有限維線性空間 ． 線性空間的基與維數(shù) 例 1 . 2 . 1 在線性空間 2R 中，任意兩個(gè)不共線的向量都構(gòu)成 2R 的一個(gè)基；在線性空間 3R 中，任意三個(gè)不共面的向量都構(gòu)成 3R 的一個(gè)基．并且 2d i m 2 ?R ； 3di m 3 ?R ． 例 1 . 2 . 2 設(shè) nmC ?是數(shù)域C上一切nm ?矩陣構(gòu)成的線性空間，考慮如下的mn個(gè)矩陣 )(000010000iEij??????????????????????????? )( j 注意到ijE（njmi ,2,1。,2,1 ?? ??）構(gòu)成線性空間 nmC ?的一個(gè)基，并且nmC nm ???di m． 一般地說，一向量組線性相關(guān)時(shí)，則其中至少有一個(gè)向量可由這組向量中其他向量線性表示，反之，如果這組向量具有這一性質(zhì)，則這組向量必線性相關(guān)．不難推知，線性無關(guān)的向量組，其中任一向量都不能由這組向量中其他向量線性表示 . 定理 1 . 2 . 1 設(shè)? ?n???? , 321 ?是數(shù)域 P 上的線性空間 nV 的一個(gè)基，則 nV 中的每一個(gè)向量 ? 可以唯一的表示為基向量n??? , 21 ?的線性組合． 證明 只需要證明唯一性． 設(shè)任意的 ? ? nV 有如下兩種表示 nnxxx ???? ???? ?2211， nnyyy ???? ???? ?2211． 兩式相減得 0)()()( 222111 ??????? nnn yxyxyx ??? ?． 因?yàn)閚??? , 21 ?線性無關(guān)，所以1 1 2 2, , , nnx y x y x y? ? ?． 例 零空間的維數(shù)是零． 此定理告訴我們，給定線性空間 nV 的一組基n??? , 21 ?后， 任一向量 ? ， 對(duì)應(yīng)唯一的一組有序數(shù)組nxxx , 21 ?． 反之，任給一個(gè)有序數(shù)組nxxx , 21 ?，總有唯一的元素 ?? nV 可以由基n??? , 21 ?線性表示為 nnxxx ???? ???? ?2211? nV （Pxxx n ?, 21 ? ）． 由此可知，如果n??? , 21 ?是 nV 的一個(gè)基，則 nV 中元素的全體可以表示為 nV = ?? nnxxx ???? ???? ?2211，nxxx , 21 ? ?P?． 也就是說 nV 中的向量 ? 與有序數(shù)組nxxx , 21 ?之間構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系． 也正是由于此性質(zhì)， 才有如下關(guān)于坐標(biāo)的概念． （ 1）向量在給定基下的坐標(biāo) 定義 1 . 2 . 2 設(shè)n??? , 21 ?是線性空間 nV 的一個(gè)基，對(duì)于任意的 ? ? nV ， 有 且 僅 有 一 個(gè) 有 序 數(shù) 組nxxx , 21 ?，使得nnxxx ???? ???? ?2211成立，我們稱nxxx , 21 ?為元素 ? 在基n??? , 21 ?下的坐標(biāo)，記作 Tnxxx ),( 21 ?． 例 1 . 2 . 4 取定 3R 中三個(gè)不共面的向量321 , ???，對(duì)于任意的? ? 3R ， ? 可以唯一的表示為 ?? 332211 ??? xxx ?? ． 因此，向量 ? 在基 {321 , ???} 下的坐標(biāo)為Txxx ),( 321． 坐標(biāo)的概念 例 1 . 2 . 5 在 nR 中的 n 個(gè)向量 Tii)0,0,1,0,0()(????(ni ,2,1 ??) ， 可以作為 nR 的一個(gè)基 ， 此 基 稱 為 nR 的 標(biāo) 準(zhǔn) 基 ． 因 對(duì) 于 任 意 的12( , , , )Tna a a? ?? nR ，有 nnaaa ???? ???? ?2211， 所以 ? 在基? ?n??? , 21 ?下的坐標(biāo)為Tnaaa ),( 21 ?． 例 1 . 2 . 6 在 nR 中如下的 n 個(gè)向量 T),1,1,1,1(1 ???? ,)1,1,1,0(2 T????，Tn )1,0,0,0( ???? 也是 nR 的一個(gè)基，因?yàn)閷?duì)于任意的12( , , , )Tna a a? ?? nR ，有 nnn aaaaa ???? ????????? ? )()( 121211 ? 所以 ? 在基 ? ?n??? ??? , 21 ?下的坐標(biāo)為Tnn aaaaa ),( 1121 ??? ?． 例 1 . 2 . 7 求線性空間nxP ][的一個(gè)基、維數(shù)以及向量p在該基下的坐標(biāo)． 容易看出，在線性空間nxP ][中，它的一個(gè)基為 nnnn xpxpxpxpp ????? ??112321 ,1 ?， 故其維數(shù)1][d i m ?? nxP n． 任何次數(shù)不大于 n 的多項(xiàng)式 nnnn xaxaxaxaap ????????112210 ?可以表示為 11322110 ?? ?????? nnnn papapapapap ? ， 所以p在基? ?121 , ?nppp ?下的坐標(biāo)為0 1 2( , , , , )Tna a a a． 如果在nxP ][中另取一個(gè)基 nn axpaxpp )(,1 121 ???????? ??， 則由p在 ax ? 點(diǎn)的 T a y l o r 多項(xiàng)式 nnaxnapaxapapp )(!)())(()()(??????? ?， 可知p在基? ?121 , ???? nppp ?下的坐標(biāo)為 () ()( ) , ( ) , ,!Tnpap a p an???????． 例 1 . 2 . 8 線性空間 nmC ?的一個(gè)基為 )(000010000iEij??????????????????????????? （njmi ,2,1。 ? ?1 3 ,1 , 0? ?，? ?2 0 ,1 ,1? ?，? ?3 1 , 0 , 4? ?． 試證明? ?321 , ???，? ?321 , ???都是 3R的基，并求由? ?321 , ???到? ?321 , ???的過渡矩陣． 解 因?yàn)橛?3R的標(biāo)準(zhǔn)基到這兩個(gè)基的過渡矩陣分別為： 1 0 11 1 00 1 2A????????????和3 0 11 1 00 1 4B??????????? 亦即 ? ? ? ? A321321 , ?????? ?，? ? ? ? B321321 , ?????? ?； 所以 ? ? ? ? BA 1321321 , ?? ??????， 故所求過渡矩陣為 15 2 24 3 22 2 3AB???????? ? ????????． 前面我們討論了線性空間的定義及其基、維數(shù)、坐標(biāo)．本節(jié)將對(duì)線性空間的子空間做一些介紹． 線性子空間的概念 定義 設(shè) W是線性空間 V的一個(gè)非空子集合，如果W對(duì)于 V中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱 W是 V的 線性子空間 . 根據(jù)上述定義，要驗(yàn)證線性空間 V的非空子集合 W是 V的子空間，需驗(yàn)證 W對(duì)于 V中運(yùn)算封閉且滿足運(yùn)算規(guī)律（ 3）、(4)即可．因?yàn)檫\(yùn)算規(guī)律（ 1）、（ 2）、（ 5）、（ 6）、（ 7）、（ 8）顯然是成立的，而由線性空間的性質(zhì)可知，只要 W對(duì)于 V中運(yùn)算封閉，運(yùn)算規(guī)律（ 3）、 (4)也就自然滿足，故有下面定理 . 線性子空間 定理 線性空間 V的非空子集 W構(gòu)成 V的子空間的充分必要條件是： W對(duì)于 V中的線