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正文內(nèi)容

5內(nèi)積空間與希爾伯特空間(講稿)(ppt34頁(yè))-文庫(kù)吧資料

2025-01-14 18:52本頁(yè)面
  

【正文】 , ,1111111111nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnknnknnnnnk?????????????????????????????????????????????0110 , xxxxxnkkk ??????機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 21頁(yè) 三、內(nèi)積空間中的正交系與傅立葉級(jí)數(shù) 1 正交系的概念 在解析幾何中,向量 i, j, k起著坐標(biāo)架的作用 ,他們兩兩正交 ,R3中一切向量 x都能由他們線(xiàn)性表示: x=x1i+x2j+x3k。 注 :正交補(bǔ)的性質(zhì): HH ?? ?? }0{},0{ )1(}0{, )2( ?? ?MMHM ???? MHM , )3( 是 H的閉線(xiàn)性子空間,即 H的 完備子空間 . 事實(shí)上, ?x, y?M?及 ?z?M,有 x, z=0,y, z=0 ? ?x+?y, z=? x, z+? x, z =0 ? ?x+?y, z?M??M?為 H線(xiàn)性子空間 ?{xn}?L?, xn?x, ?z?M ? x, z=lim xn, z=0 ?x?M? ?M?為 H的閉子空間 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 14頁(yè) 定義 10 (正交分解與正交投影 ) 設(shè) H是內(nèi)積空間, M?H是線(xiàn)性子空間, x?H,如果存在 x0?M, x1?M?, 使得 x = x0+x1 ( 1) 則稱(chēng) x0為 x在 M上的正交投影,而稱(chēng) (1)式為 x關(guān)于 M的 正交分解 。 (3) M?N??x?M, ?y?N,都有 x,y=0. 定理 4 (勾股定理 )設(shè) H是內(nèi)積空間 ,若 x,y?H, 且 x?y, 則 ||x+y||2=||x||2+||y||2 注 :1) 在一般的內(nèi)積空間中,若 x?y, 則有 勾股定理 ||x+y||2=||x||2+||y||2成立,但反之不然。 x0 x1 x ? 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 12頁(yè) 1 正交的概念 定義 5 (正交 ) 設(shè) H是內(nèi)積空間 ,x,y?H, M,N ?H. (1) x?y ? x,y=0。這是內(nèi)積看所特有的性質(zhì),這個(gè)定理在一般的巴拿赫空間中并不成立(因?yàn)榘湍煤湛臻g中沒(méi)有正交性的概念)。 下面將把正交分解和正交投影的概念與推廣到一般的內(nèi)積空間中。且有 x=x0+x1, 其中 x1?該坐標(biāo)平面。 定理 3 設(shè) X是內(nèi)積空間,則必存在一個(gè) Hilbert空間 H,使 X與 H的稠密子空間同構(gòu),而且在同構(gòu)意義下,滿(mǎn)足上述條件的 Hilbert空間是唯一的。 L2[a,b]按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) 212)( ??????? ?ba dttxx是 Banach空間,因而是 Hilbert空間。 l 2中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為 2112,),(???????? ??????? ???iii yxyxyxyx? 例 2 l 2空間按照內(nèi)積 ??????1,kkk yxyx是內(nèi)積空間。 Rn中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離為 2112,),(???????? ??????? ??niii yxyxyxyx?Rn按照由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù) ???nkkxx12因而是 Hilbert空間。但反之不然 注 : (1) 內(nèi)積與由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)的三角不等式關(guān)系 —— 許瓦茲不等式 ., yxyx ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 4頁(yè) 3 線(xiàn)性賦范空間成為內(nèi)積空間(范數(shù)是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù))的充分必要條件 定理 1 線(xiàn)性賦范空間 X是內(nèi)積空間 ??x,y?X,有 ||x+y||2 + ||xy||2=2||x||2 + 2||y||2 (平行四邊形公式或中線(xiàn)公式 ) 定義 3 設(shè) H是內(nèi)積空間,若 H按照由內(nèi)積誘導(dǎo)的范數(shù)成為 Banach空間,則稱(chēng) H是希爾伯特空間。 (2) 距離函數(shù) yxyxyxyx ????? ,),(?稱(chēng)為由內(nèi)積誘導(dǎo)的距離。, )3 zxyxxzxyxzyzyx ???????? ??????? 。, )2 xyyx ?., 。 。:H?H?K, 使得:對(duì) ?x,y,z?H,??K,滿(mǎn)足 則稱(chēng) x, y為數(shù)域 K中 x與 y的內(nèi)積 ,而稱(chēng)定義了內(nèi)積的空間 H為內(nèi)積空間。機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第 1頁(yè) 第五章 內(nèi)積空間與希爾伯特 空間 ?內(nèi)積空間與 希爾伯特空間 ?內(nèi)積空間 +完備性 ?希爾伯特空間 ?歐氏空間 ?線(xiàn)性空間 +內(nèi)積 ?內(nèi)積 空間 元素的長(zhǎng)度(范數(shù)) 兩向量夾角與正交 ?內(nèi)積空間特點(diǎn) : 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè)
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