數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文希爾伯特空間中子空間的閉性與補性黃雪梅-文庫吧資料
2025-01-22 16:57本頁面
【正文】 關系.1 引理及證明引理1 （Schwarz不等式）設按內(nèi)積成為內(nèi)積空間,則對，成立不等式 當且僅當與線性相關時,不等式取“”．引理2 設為內(nèi)積空間,對,若,則．證明 ,對,使得,有,使得,有．于是, 當時,有 （由引理1）,又時,有 ,當時,有界,令,則,.注1 引理2說明:若將看作一個二元函數(shù),則此二元函數(shù)是連續(xù)的,即極限符號與內(nèi)積符號可以交換位置:.引理3 設為內(nèi)積空間,是的子集,則是中的閉子空間.證明 先證是中的子空間：對,則,有,.再證是閉子空間：對收斂點列且,有:,由引理2,有,是閉子空間.引理4 設是內(nèi)積空間的非空子集,則成立.證明 對,.引理5 設,是內(nèi)積空間中的非空子集且,則.證明 對,有,.引理6(投影定理) 設是Hilbert空間中的閉子空間,則成立.引理7 設是Hilbert空間中的閉子空間,則成立.引理8 設是內(nèi)積空間的線性子空間,則.證明 為線性子空間, 又, 對,有且,.引理9 設是內(nèi)積空間的非空子集且,則成立.證明 由引理4知,下證:對,由于,有,由引理3有 是中的閉子空間,應用引理8有 , .引理10 設是內(nèi)積空間的子空間,則.證明 顯然成立,下證 :對,使,是子空間, ,.引理11 設且,則且,有.證明 由積分中值定理,使,則由于且,在與上異號,不妨設在上,在上,矛盾,假設不成立,且,有.另證 令,則,又,由積分中值定理,使,.對在和上分別利用羅爾定理, 則,使,證畢.引理12 設且,則互不相同的,有.證明 用數(shù)學歸納法證明當時由引理11可知命題成立。 為子空間的維數(shù)。是閉區(qū)間上全體連續(xù)函數(shù)構成的線性空間。若內(nèi)積空間是復的內(nèi)積空間時,是復數(shù)域。 ,。是線性包的閉包。 為的線性包。當且僅當。文獻[8]研究了模糊內(nèi)積空間中的投影定理,本文將探討一般內(nèi)積空間中投影定理成立的條件,并試圖減弱文獻[2]中的投影定理的條件.本文中,用表示與的內(nèi)積。 Sub space。 Supposes is the infinite Uygurinner product space, is center infinite Uygur su
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