powerpoint數(shù)學(xué)物理方法第二篇第一章希爾伯特空間與施斗-文庫吧資料
2024-11-01 17:18本頁面
【正文】 ? ?0 , 1 , 2 , 3 ,2 ! !nddnn? ???????? ? ???? ? ? ?020 2 ! !nndy x xn???? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?121 2 0 0002 1 ! ! 2 ! !n nnnxxy x y x y x c dnn?? ? ? ???? ? ? ???? Company Logo Click to edit title style 167。LOGO PowerPoint 數(shù)學(xué) 物理方法 第二篇 第一章 希爾伯特空間與施斗姆 劉維爾算子 寧夏大 學(xué) 物理 電氣 信息 學(xué) 院 陳煥銘 張磬蘭 沈乃錄 汪燕青 秦君琴 文曉霞 Company Logo Contents 167。 (Hilbert)空間 定 義 : 是集合 ,集合中的元素 復(fù)值 函 數(shù) 函 數(shù) 定 義區(qū)間 [a,b]. 集合的特性 : 對 加法和 數(shù) 乘 運(yùn) 算封 閉 線 性 (函 數(shù) )空 間 內(nèi)積運(yùn) 算 : (Riemann意義下的積分 ) ],[2 baL],[ baC],[ baCxxgxfgfbad?? )()(),(? ? ? ?,f x g x ],[ baC為空間 內(nèi)的任意兩個(gè)函數(shù) , ? ?gx ? ?gx表示取 的復(fù)共軛 . Company Logo Click to edit title style ?內(nèi)積滿足以下性質(zhì)： ? 1. ? 2． 對 任意 復(fù)數(shù) 都有 ? 3. ? ? ? ?,f g g f?. ,??? ? ? ? ? ?, , ,f g h f h g h? ? ? ?? ? ?? ?ff , 0f ? ? ?,0ff ?≥0， 當(dāng) 且 僅當(dāng) 時(shí)， ? ?,abC是一內(nèi)積空間 !! 范 數(shù) :稱實(shí)數(shù) 為 函 數(shù) 的范 數(shù) ， 記為 范數(shù)與內(nèi)積滿足關(guān)系式 ≤ (CauchySchwarz不等式 ) ? ?,ff ? ?fx f. ? ?gf, gf ? Company Logo 1. 2. 對 任意 復(fù)數(shù) ，有 3. 成立三角不等式 ≤ 2 Part Concept 范 數(shù) 的性 質(zhì) 0?f 0f ? 0f ?? ff ?? ??gf ? gf ?， 當(dāng) 且 僅當(dāng) 時(shí) ， 中函 數(shù) 序列 的 極 限 0)()(limlim212 ???????????? ???????xxfxfffbannnn dlim nn ff? ?? ?記為 ? ?,abC ? ?? ?nfx Company Logo Click to edit title style 基 本 列 序列收斂的 Cauchy準(zhǔn)則 不完備空間 任意給定的 存在自然數(shù) 當(dāng) 時(shí)都有 ，反之亦然 滿足哥西準(zhǔn)則的 中的函數(shù) 序列 稱為 基本列 不能使每個(gè)基本 列都收斂的空間 稱為不完備空間 . 基本列 在 中未必收斂 是不完備的 0??? ?NN??,n m N?nmff ???? ?,abC? ?? ?nfx ? ?nf? ?,abC? ?,abC Company Logo Click to edit title style 空間 空 間 完備化 方 法 特 別 規(guī) 定 完 備 化 結(jié) 論 ? ?2 ,L a b? ?2 ,L a b 內(nèi)積空間 的完備化 增加所有基本列的極限函數(shù) 即定 義 ? ? ? ?limnnf x f x? ??? 若 收斂于 取 若 取 0)( fxf ?? ?nf0f0lim ???? nnn gflim limnnnnfg? ?? ? ??? 中所 有函數(shù) 都可 以表示為連 續(xù)函數(shù)序列 的極限 ? ?2 ,L a b? ? ? ?li m nnf x f x? ???? ?,abC Company Logo Click to edit title style 線 性 運(yùn) 算定 義 內(nèi)積運(yùn) 算定 義 范 數(shù) 定 義 空間中的線性運(yùn)算 /內(nèi)積運(yùn)算 /范數(shù) ? ?2 ,L a b? ?l i m nnnf g f g? ? ? ?? ? ?? ? ?,??為復(fù)數(shù) ? ? ? ?, l i m ,nnnf g f g? ? ??? ?,f f f? Company Logo 設(shè) 是 空間中的基本列，則數(shù)列 是復(fù)平面上的基本列，并且有復(fù)數(shù) Click to edit title style ? ?nf??????????? xxfban d11)(勒 貝 格 (Lebesgue)積 分 定理 定 義 ? ?,abCxxfAbann d?????11)(lim],[],[ 11 baba ?設(shè) 是 空間中的基本列， , 記 ,那么稱數(shù)列 的極限 A為函數(shù) f(x)的勒貝格積分 ,并說 f(x) 在 上勒貝格可積 . ??????????? xxfban d11)(? ?nf ? ?,abC ],[],[ 11 baba ?],[ 11 ba? ? ? ?lim nnf x f x? ??? Company Logo Click to edit title style 新 重 表 示 ????????????????????? ?????212212lim xfxffbabann ddxxgxfgfbad?? )()(),((勒貝格積分 ) (平方可積 ) 凡是平方可積的函數(shù)必都屬于 ? ?2 ,L a b Company Logo Click to edit title style 滿足內(nèi)積第二條性質(zhì) 滿足內(nèi)積第三條性質(zhì) 滿 足 內(nèi)積 第一 條 性 質(zhì) 滿足范數(shù)第二條性質(zhì) ? ?2 ,L a b滿足范數(shù)第一條性質(zhì) 滿足范數(shù)第三條性質(zhì) 稱為 希爾伯特空間 Company Logo 定 義 :設(shè) 如果 則稱 是正交的 Click to edit title style L2[a,b]空間的傅里葉（ Fourier）級數(shù) ? ?1 2 2,f f L a b?? ?12,0ff ?12,ff定 義 :若可列無 窮 列 滿 足 則稱 是 標(biāo) 準(zhǔn)正交系 ? ?n?? ????????)(1)(0,jijiijji ???? ?n? Company Logo Click to edit title 定 義 定 義 定 理 ? ?n? ? ?2 ,L a b? ?2 ,
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