powerpoint數(shù)學(xué)物理方法第二篇第一章希爾伯特空間與施斗(參考版)
2024-10-28 17:18本頁面
【正文】 39。39。 連帶的勒讓德方程和連帶的勒讓德函數(shù) 連帶的勒讓德方程 ? ?011 222 ?????????????????? ? yxmxyxx ?dddd0m?勒讓德方程的本征值問題的提法 : 有界條件下的本征值 : 本征函數(shù) : ? ?1, 1?? ? ?1 , 0 ,1 , 2 ,l l l? ? ? ?????? ? ???求在閉區(qū)間 上有有界解的 ? ?1 , 0 ,1 , 2 ,l l l? ? ? ?????? ? ???lmxPxxxP lmmmml ?,2,1,0),()1()(22 ???ddl通常稱 為 l次 m階連帶勒讓德函數(shù) Company Logo Click to edit title style 連帶勒讓德函數(shù)有正交性 ?2,1,0,0)()(11??????nlnlxxPxP mnml d? ? 12 2)!( )!()()( 1122?????? ??? lmlmlxxPxP mlml d并且 Company Logo Click to edit title style 167。 0)()()()()( ?????? zwzqzwzpzw二階線性齊次常微分方程的一般形式 ? ? ? ?,p z q z 0zz?? ?pz ? ?qz如果函數(shù) 在 點(diǎn)解析，則稱此點(diǎn) 為方程的常點(diǎn) . 的至多一階極點(diǎn)，是 的至多二階極點(diǎn) ,則稱 此點(diǎn)為方程的正則點(diǎn) . Company Logo Click to edit title style 0x?00 ?x 0xxt ??不失一般性，只討論 點(diǎn)為常點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)解法，如果 就令 化為在原點(diǎn)內(nèi)討論 . 0x? 0)()( ???? xxyxy例 : 在 點(diǎn)的鄰域內(nèi)求解艾里方程 解：設(shè) ? ?0,nnnny x c x c???? ????? 是待定的常數(shù) ? ? 1110?????????? ??? nnnnnn xncxncxy? ? ? ? ? ? 222111 ?????????? ?????? nnnnnn xnxnxy , ? ? 212010nnnnnnn n c x c x? ? ? ?????? ? ???代入方程有 Company Logo Click to edit title style ? ? ? ?? ?2 2 112 1 2 1 0nnnnc n n c c x?????? ? ? ? ? ??合并同類項(xiàng) 比較同次冪項(xiàng)系數(shù) ? ? ? ?0221: 2 0: 2 1 0 , 1 , 2 , 3 ,n nnxcx n n c c n??????????? ?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 0c ? ? ? ? ?12 , 1 , 2 , 3 ,21nncnn?? ? ????? ? ?????1n?03013 2 3!ccc???2n?14124 3 4 !ccc???3n?25 054cc ???4n?360146 5 6 !ccc???? Company Logo Click to edit title style 于是 ? ?? ?? ?? ?3 0 3 1 11 4 3 2 2 5 3 1,3 ! 3 1 !mmmmc c c cmm ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ?3 3 101111 4 7 3 2 2 5 8 3 113 ! 3 1 !mmmmmmy x c x c x xmm? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ?31131211 4 7 3 21,3!2 5 8 3 1,3 1 !nnnnny x x xnny x x x xn???????? ? ? ? ? ?? ? ??? ??? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ??????)( xy ????????????? ?????d332xieC Company Logo Click to edit title style 例 :在 0x? 點(diǎn)的鄰域內(nèi)求方程的 冪級(jí)數(shù)解 ? ? ? ? ? ? ? ? 0124 ??????? xyxyxxyx0x?? ?0,nnny x c x ?????? ? 0 0c ?解：顯然 ? ? ? ? 10?????? ??? ?? nnn xncxy? ? ? ?? ? 201 ?????? ?????? ??? nnn xnncxy是方程的正則點(diǎn) . 為此設(shè)方程的解為 Company Logo Click to edit title style ? ? ? ? ? ?? ?1100004 1 220nnnnnnnnnnnnc n n x c n xc n x c x????? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?????消去 x? 合并同類項(xiàng) ? ? ? ? ? ? ? ?0112 2 1 2 2 2 1 2 2 1 0nnnnc n n c n c x? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ?? ? ? ? ? ? ? ?012 2 1 02 2 2 1 2 2 1 0 , 1 , 2 , 3 ,nncn n c n c n??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?比較同次冪的系數(shù) Company Logo Click to edit title style 通常取實(shí)部較大的那個(gè)根為 ? ?2 1 0?? ??0 0c ?1? 2?121 ,02??? ??? ??? ?這個(gè)方程稱之為 指標(biāo)方程 ， ，較小的那個(gè)根為 這里有 112? ?1 , 1 , 2 , 3 ,21nncn?? ??????? ? ? ????將 代入第二式得遞推關(guān)系式： ? ?02 1 ! !nccn? ?顯然 ? ? ? ?100 2 1 ! !nnxy x c xn?????? Company Logo Click to edit title style 1211022??? ? ? ?? ?1yx? ? 2200n nnnnny x d x d x?? ? ? ????????由于 不為整數(shù)，因此找方程的與 線性無關(guān)的解可設(shè)為 ? ? 112??????? nnn xndxy ? ? ? ?212 1????? ???? nnn xdnnxy代入方程 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?112 1 1 01 0 114 1 2 2 02 2 2 2 1 2 1 0n n n nn n n nn n n nnnnnn n d x n d x n d x d xd d n n d n d x? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? Company Logo Click to edit title style ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 12 0 , 2 2 2 1 2 1 0 , 1 , 2 , 3 ,nnd d n n d n d n?? ? ?????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ?? ?011,2, 1 , 2 , 3 ,21nnddddnn??? ??????? ? ???? ? ?
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