powerpoint數(shù)學(xué)物理方法第二篇第一章希爾伯特空間與施斗-展示頁
2024-11-05 17:18本頁面
【正文】 f L a b? f? ?n?? ?n?? ?n?設(shè) 是 空間 使 與 中的每一個(gè)函數(shù) 是不完全的，否則稱 是完全的 . 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，如 果存在一個(gè)非零函數(shù) 都正交，則稱 ? ? ? ?1, 2 ,n n? ???? ? ???? ?2 ,L a b? ?? ? ? ?, 1 , 2 ,nfn? ???? ? ???f? ?n?? ?2 ,f L a b?設(shè) 是 中的一個(gè) 叫做函數(shù) 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正 的傅里葉系數(shù)， 標(biāo)準(zhǔn)正交系，則把數(shù)列 交系 這里 ? ?n? ? ?2 ,L a b? ?fx?? ? ? ?1, nnnfx??????? ? 221, nnff ????? ?? ?2 ,L a b如果 是 中一個(gè)完全標(biāo)準(zhǔn)正交系， 空間中的勾 股定理 . 空間 則 并且成立巴塞伐爾等式 即 Company Logo Click to edit title style 定理的推廣 (由一 維 到二 維 ) ? ?? ? ? ?1 , 2 ,n xn? ???? ? ??? ? ? ? ?? ?mnxy??? ?2 ,L a b ? ? ? ?2 ,L a b a b?? ? ? ? ? ?,1, m n m nmnf x y a x y?????? ?? ? 2 2,1, mnmnf x y a???? ?? ? ? ? ? ?? ?,m n m na f x y x y???? ?fx? ? ? ? ?1, nnnfx??????? ?221, nnff ????? ?, 1, 2,mn? ???? Company Logo Click to edit title style 定 義 在 上 施斗姆 (Sturm)劉維爾 (Liouville)算子 稱為帶權(quán) 因子的 內(nèi)積 稱為施斗姆劉維爾算子 ?????? ????????? )()()()(1 xyxqxyxpxxrLy dddd? ? ? ?,p x q x? ?,ab)(xp ≥ 0c o n s t0 ??p )(xq ≥ 0c o nst0 ??rxxgxfxrgfbar d?? )()()(),(212)()(????????? ? xxfxrfbar d? ?,0rfg ?稱帶權(quán)因子正交 通常意義下的正交 1r?? ? ? ?? ?2 ,L a b r x Company Logo Click to edit title style 稱為施斗姆劉維爾方程 0)()()()()( ????????? xyxrxyxqxyxpx ?dddd??? ?邊界條件本征值問題：)()( xyxLy ?1 2 3 邊 界 條 件 端點(diǎn) (邊 界 )a 端點(diǎn) (邊 界 ) a 端點(diǎn) a, b 第三 類邊 界 條 件 第二 類邊 界 條 件 第一 類邊 界 條 件 自然 邊 界 條 件 周期性 條 件 ? ? 0pa ? ? ? 0,pa ? 0)( ?? ap ? ? ? ?p a p b?0)()( ??? ayay ?????)(ay)()( byay ?)()( byay ??22 0???? Company Logo Click to edit title style 施斗姆 劉維爾本征值問題的相關(guān)結(jié)論 ① 有可列無窮個(gè)非負(fù)本征值 和相應(yīng)的本征函數(shù) ?? ???? n??? 210 ? ? ? ? ? ?12, , , ,nx x x? ? ???? ???n n nL? ? ??滿足 ? ? ? ? ? ?12, , , ,nx x x? ? ???? ???? ?? ?2 ,L a b r② 這些本征函數(shù) 構(gòu)成 空間內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn) ,...)3,2,1,(,0)()()( ???? mnmnxxxxrbamn d??正交完全系，且有 ? ? ? ?? ?2 ,f x L a b r? ? ? ? ?1nnnf x C x????? ?xxxfxrCbanrnn d?? )()()(12 ??③若 ，則有（廣義）傅里葉級(jí)數(shù) 其中 Company Logo 如果 z0是 Click to edit title style 正 則 點(diǎn) 鄰 域 冪級(jí)數(shù) 解法 常點(diǎn) 鄰 域 167。 （ Legendre）方程 ? ? ? ? ? ? ? ? 021 2 ??????? xyxyxxyx ?勒讓德方程 0x? 0x?? ?0nnny x c x???? ?點(diǎn)是勒讓德方程的常點(diǎn) .設(shè)方程 點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)的解為 ? ? ???????11nnn nxcxy ? ? ? ??????????221nnn xnncxy? ? ? ?22 2 1 01 1 2 0n n n nn n n nn n n nc n n x c n n x c nx c x?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 0112122312221302??????????????????nnnn xnnxcccc??? Company Logo Click to edit title style 比較兩邊同次冪的系數(shù) ? ?? ? ? ? ? ?203122 1 03 2 2 1 02 1 1 0 , 2 , 3 ,nnccccn n c n n c n????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?????? ?? ? ? ?2 0 3 121 0 2 1,2 1 3 21, 2 , 3 ,21nnc c c cnnc c nnn????? ? ? ?? ??? ??? ??? ? ???? ? ?? ??? ?? ? ? ? ?? ? ?由此得 Company Logo Click to edit title style 2nm?? ? ? ? ? ? ? ?? ?202 1 2 2 3 2 1 0 , 0 , 1 , 2 ,2!mmmc c mm? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ????? ? ? ? ?21nm??? ? ? ? ? ?? ?2 1 12 2 1 4 3 2 1 ,2 1 !mmmccm? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng) 時(shí)，有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?20021102 1 2 2 3 2 1 02!2 2 1 4 3 2 12 1 !mmmmmmy x c xmmmcxm? ? ?? ? ????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ????????????????? ???? Company Logo Click to edit title style ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?21021202 1 2 2 3 2 1 02!2 2 1 4 3 2 12 1 !mmmmmmy x xmmmy x xm? ? ?? ? ????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ?????????1x ?? 1x??當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)都是發(fā)散的，即 這兩點(diǎn)一般是勒讓德方程的解的奇點(diǎn) . Company Logo Click to edit title style 勒讓德方程的本征值與本征函數(shù) 勒讓德方程的本征值問題的提法 : ? ?1, 1??? ?1 , 0 ,1 , 2 ,l l l? ? ? ?????? ? ???? ? ? ?12,y x y x? ?1, 1??求在閉區(qū)間
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1