【正文】 模為無限大的復數(shù)也跟復平面上一點對應（ 無限遠點 ） 19 如圖，一球的南極與復數(shù)平面的原點相切，平面上任意點 A 與球的北極由一條直線相連，直線與球相交于 A’ 。 (2)無窮遠點的模為 ∞，幅角沒有意義。 18 （二）無限遠點 復平面上有些個點比較特殊，比如：零點和無窮遠點。 練習：證明復數(shù)的運算服從下列規(guī)律 1 2 2 1z z z z? ? ?1 2 2 1z z z z?1 2 3 1 2 1 3()z z z z z z z? ? ?交換律 結合律 分配律 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z?1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z? ? ? ? ?兩個復數(shù)相乘，其模等于它們模的乘積，其幅角等于它們幅角的和。記 ? ??? iez ?22x y z? ? ? ?A rg z? ?( 0 A rg 2 )z ???主值 復共軛 * iz x i y e ?? ?? ? ?稱為模 定義指數(shù)復數(shù) 具有實指數(shù)函數(shù)相同的性質 c os si niei? ???? 1 2 1 2()i i ie e e? ? ? ???練習 16 補充：歐拉公式的證明 c os si niei? ????z x iy??設 可以證明級數(shù) 21112 ! !nz z zn? ? ? ?在整個復數(shù)范圍是絕對收斂的 定義它的和函數(shù)為 ze z為純虛數(shù) iy時 232 4 3 5111 ( ) ( )2 ! 3!1 1 1 1 ( 1 ) ( )2 ! 4 ! 3! 5 ! c os si niye i y i y i yy y i y y yy i y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???1 2 1 2()i i ie e e? ? ? ???指數(shù)函數(shù)的性質 17 小結：復數(shù) z 是兩個獨立變量 (x, y) 的集合。 9 Euler 認為復數(shù)僅在想象中存在，1777年， Euler采用 i 代表 1?5 十九世紀，有三位代表性人物： 柯西 (Cauchy， 1789－ 1857) 維爾斯特拉斯 (Weierstrass， 1815－ 1897) 黎曼 (Rieman， 1826－ 1866) 經過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復變函數(shù)論 4 復數(shù)真正被接受主要歸功于德國數(shù)學家高斯(,17771855), 1799年，他把復數(shù)的思想融入到對代數(shù)學基本定理的證明中。 1?2 Bernoulli和 Leibniz的爭論 1712~1713 Bernoulli：負數(shù)的對數(shù)是實數(shù) d ( ) d l n ( ) l nxx xxxx? ? ? ? ??Leibniz ：不可能有負數(shù)的對數(shù) d d lnx xx ?只對正數(shù)成立 3 Euler 在 1747年對這場爭論作了中肯的分析 ln( ), lnxx? 差一常數(shù) 8 1740年， Euler 給 Bernoulli的信中說： 2 cosyx?11xxy e e? ? ???和 是同一個微分方程的解，因此應該相等 1743年，發(fā)表了 Euler公式 ? ?? ?11111c o s21sin21xxxxx e ex e e? ? ?? ? ??????歐拉 (L. Euler, 17071783)先確立了負數(shù)的對數(shù) l n( ) l n 1xx ?? ? ? ?又給出了復數(shù)對數(shù)的適當定義 22l n ( ) l n ( 2 )a b i a b i k??? ? ? ? ?22sin /b a b? ??歐拉像使用實數(shù)一樣有效地使用復數(shù) ,數(shù)學家們也因此對復數(shù)產生了一些信心。他在《 代數(shù) 》 中建立了虛數(shù)運算法則。這是歷史上首次形式上出現(xiàn)負數(shù)的平方根。 復數(shù)函數(shù)發(fā)展簡史 早在 16世紀，一元二次、一元三次代數(shù)方程求解時就引入了虛數(shù)的基本思想，給出了虛數(shù)的符號和運算法則。1 數(shù)學物理方法 特色：在于數(shù)學與物理的緊密結合。 課程的主要內容有：復變函數(shù)論和數(shù)學物理方程 在高等數(shù)學和普通物理學的基礎上論述古典數(shù)學物理中的常用方法 普通物理 專業(yè)物理 數(shù)學物理方法 描述物理模型的數(shù)學方法 2 教材及指導書 一、教材： 梁昆淼編， 《 數(shù)學物理方法 》 ，第四版，高等教育出版社 二、主要的參考書： 吳崇試 編著， 《 數(shù)學物理方法 》 北京大學出版社 成績測定：作業(yè) 20%＋考試 80% 聯(lián)系方式： Mathematical methods in the physical science (Mary L. Boas) 3 第一篇 復變函數(shù)論 微積分 復變函數(shù)論 ？為什么 （兩者的差別） 實數(shù) 復數(shù) ()fx ()fzz x iy??微積分： : [ , ]f a b R? a b Rf( , )c a b?( ) ( )( ) l imxcf x f cfcxc??? ??f 可微 ? 左極限 =右極限 4 復變函數(shù)： 2: f C R?xf( ) ( )( ) l imzcf z f cfczc??? ?? f 可微 ? 任意路徑的極限相等 yuv說明：微積分中存在一些不好的性質 21/ 0()00xexfxx?? ??? ????在 x?0各階導數(shù)均存在 , 在 x=0各階導數(shù)均存在 ,其值為 0 ()0( 0 )( ) 0!nnnff x xn?????例 ()fxf (x)可微 ? 存在 ? ()()nfx ()0( 0 )()!nnnff x xn??? ?（滿足泰勒展開條件） 5 復變函數(shù)論（ theory of plex functions）： 研究自變量是復數(shù)的函數(shù)的基本理論及應用的數(shù)學分支，主要研究對象是解析函數(shù)。 1 復數(shù)起源于代數(shù)方程求根 1484 年 , 法國數(shù)學家舒開 (N. Chuquet, 1445—1500)在 《 算術三編 》 中指出二次方程 的根 243xx?? 39424x ? ? ?沒有意義。 6 2 3 2 3332 4 2 7 2 4 2 7b b a b b ax ? ? ? ? ? ? 1545年 , 意大利數(shù)學家卡丹 (G. Cardano,15011576) 在 《 大術 》中提出“把 10分為兩部分 , 使其乘積為 40”的問題 ,并給出 40 ( 5 15 ) ( 5 15 )? ? ? ? ?書中給出了卡丹公式 3x ax b?? 與卡丹同時代的意大利數(shù)學家邦貝利 (,約 1526—1573) 是第一個認真看待虛數(shù)并認識到虛數(shù)應用價值的人。 如對于 3 15 4xx?? 邦貝利發(fā)現(xiàn)有一個根 4x?332 1 1 1 2 1 1 1x ? ? ? ? ? ?他證明了 3 2 1 1 1 2 1? ? ? ? ?7 法國的笛卡爾（ ,15961690）稱其為虛數(shù) (“虛幻數(shù)” imaginary number) 由于 在實數(shù)范圍內無意義，在很長時間內，直到 19世紀中葉，這類數(shù)仍然是不合法的。在 18世紀 ,盡管一些數(shù)學家已較為廣泛地使用復數(shù) ,但無論歐拉還是別的數(shù)學家對這些數(shù)都還不甚清楚。 10 11 復數(shù)與復數(shù)運算 （一）復數(shù)的基本概念 復數(shù)定義 ：復數(shù) —— 形如 z=x+iy 的數(shù) （ x,y 為實數(shù)，