powerpoint數(shù)學(xué)物理方法第二篇第四章分離變量法、本征函-展示頁
2024-08-01 16:41本頁面
【正文】 Company Logo Click to edit title style ...)2,1,0(,0 ?? nd n從而得到 ...)3,2,1(,)(,)(00 ??? nrcrRcrR nnn于是得到方程的這樣一系列的解： 00 ),( cru ?? nnnnnn rncbncaru )s i nc o s(),( ??? ???? ??????????100)s i nc o s(2),(),(nnnnnn rnBnAAruru ????)(),( ?? fru ar ?? ???????10 )s i nc o s(2)( nnnn anBnAAf ???. . . )2,1,0(,c o s)(120?? ? nnfaA nn????? d...)3,2,1(,s i n)(120?? ? nnfaB nn????? d Company Logo Click to edit title style 167。LOGO PowerPoint 數(shù)學(xué) 物理方法 第二篇 第四章 分離變量法、本征函數(shù)法 寧夏大 學(xué) 物理 電氣 信息 學(xué) 院 陳煥銘 張磬蘭 沈乃錄 汪燕青 秦君琴 文曉霞 Company Logo Contents 167。 混合問題的分離變量法 以弦的橫振動為例，設(shè)弦長為 l，兩端固定的一維自由振動的混合問題是 ????????????????)0(),()0,(),()0,()0(,0),(,0),0()0,0(),(),( 2lxxxuxxuttlututlxtxuatxutxxtt??設(shè)問題有變量分離形式的解 )()(),( tTxXtxu ?代入方程，分離變量得到 )()()()(2 xXxXtTatT ????????????? )( )()( )(2 xX xXtTa tT Company Logo Click to edit title style 從而得到兩個常微分方程 0)()(,0)()( 2????????xXxXtTatT??對齊次邊界條件也有 0)()(,0)0()0( ?? tTlXTX0)( ?tT 0)(,0)0( ?? lXX由于求非零解，所以 ，只有 由此得到關(guān)于 X(x)的施斗姆 劉維爾本征值問題 ?????????0)(,0)0(0)()(lXXxXxX ?（ 1） 0?? 不是本征值 0??（ 2） 不是本征值 （ 3） 0?? 時，方程的通解為 Company Logo Click to edit title style xDxCxX ?? s i nc o s)( ??由 0)0( ?X 得 C=0 0)( ?lX 時得 0s in ?lD ?0?D 0s in ?l?由于求問題的非零解，所以 . 只有 從而得到問題的可列個本征值 ,...)3,2,1(, ?? nlnn ?? , . . . )3,2,1(,)( 2 ?? nlnn ??對應(yīng)的本征函數(shù) ,...)3,2,1(,s i n)( ?? nl xnxX n ? Company Logo Click to edit title style 現(xiàn)將本征值 2)(lnn?? ? 代入關(guān)于 T(t)的方程得到 0)()()( 2 ???? tTl antT nn ?它的通解為 latnDlatnCtTnnn?? s i nc o s)( ??從而得到變量分離狀態(tài)的解，稱之為駐波 lxnlatnDlatnCtTxXtxunnnnn??? s i n)s i nc o s()()(),( ???按照疊加原理，將可列個駐波解疊加得到 ??????1s i n)s i nc o s(),(nnn lxnlatnDlatnCtxu ??? Company Logo Click to edit title style 于是由 )()0,( xxu ?? 得 ?????1s in)(nn lxnCx ??...3,2,1s in???????nlxn? ? ?l,0...)3,2,1(,2s i n ?? nll xn ?注意到本征函數(shù)系 ，在 上是正交的完全的函數(shù)系，且 故而有 ...3,2,1,s i n)(20?? ? nlnlCln ????? d同理由 )()0,( xxu t ?? 有 ?????1s i n)(nn lxnDlanx ???所以 ...3,2,1,s i n)(20?? ? nlnanDln ?????? d因此分離變量法又叫傅立葉解法 Company Logo Click to edit title style 例 ??????????????????),()0,(,0)(,0),0()0,0(),(),( 2xxuhuxututlxtxuatxulxxxt?解 )()(),( tTxXtxu ????????????0)()(,0)0(0)()(lhXlXXxXxX ?0)()( 2 ??? tTatT ?解本征值問題 xDxCxX ?? s i nc o s)( ??0)0( ?X0)()( ??? lhXlX
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