powerpoint數(shù)學(xué)物理方法第二篇第一章希爾伯特空間與施斗-在線瀏覽
2024-12-27 17:18本頁面
【正文】 上的有有界解，只有當(dāng)其中的參數(shù) 時(shí)， 退化為多項(xiàng)式，成為 上的有界解 . 中將有一個(gè) ? ?1 , 0 ,1 , 2 , 3 ,l l l? ? ? ?????? ? ???相應(yīng)的多項(xiàng)式解是本征函數(shù) 有界條件下的本征值 : 對應(yīng)本征值的本征函數(shù) : 通常把這種多項(xiàng)式的最高次方 lx 的系數(shù)規(guī)定為 ? ?? ? 22!2!l llcl?? Company Logo Click to edit title style nllnlnl xnlnlnnlxP 220 )!2()!(!2)!22()1()( ????????? ??? ???)()( xPxy l?稱為勒讓德多項(xiàng)式 ????????0212 )()21(lll txPtxt勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù) (生成函數(shù) ) lllll xxlxP )1(!21)( 2 ??? dd(微分形式－羅巨格 (Rodrigues)公式 ) (級數(shù)表達(dá)式 ) (積分表達(dá)式 ?) Company Logo Click to edit title style 微分形式的證明 (利用牛頓二項(xiàng)式展開 ) ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?2 2 2 2 2 2220!!111 ! 1 ! ! !1!!1! ! ! !l rl l l rrll lrrllg x x x x xl r l rllxl l r r l r????? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????????????? ? ? ????)()!2()!(!)!22()1(21])12(2[)122)(22()!(!!)1(!21)1(!212202202xPxrlrlrrlxlrlrlrlrlrllxxllrllrrlrllrrllll???????????????????????????????????? ?dd Company Logo Click to edit title style 由勒讓德多項(xiàng)式的表達(dá)式，顯然有 )()1()( xPxP lnl ??? 0)0(12 ??nP222 )!(2)!2()1()0(nnPnnn ???0)()()12()()1( 11 ????? ?? xlPxxPlxPl lll )3,2,1( ??l)()1()()(1 xPlxPxxP lll ??????)()12()()( 11 xPlxPxP lll ????? ??遞 推 公 式 1)(0 ?xP xxP ?)(1 )13(21)( 22 ?? xxP )35(21)( 33 xxxP ??常 用 Company Logo Click to edit title style 勒讓德多項(xiàng)式的完全性、正交性、以及它的范數(shù) 正交性證明 完全性證明 (略 ) ? ?fx?? m ml?? ?fx?? )(xPl設(shè) 是一個(gè) 次多項(xiàng)式，如果 時(shí)，則 與 正交 0)()(11????xxpxf l d? ? ? ?2 1 lg x x??記 1x?? ? ?gx l是 的 階零點(diǎn) 0)1()1()1( )1( ???????? ?lggg ? )(!2 1)( )( xglxP lll ??? ? 0)()1()()()()(!21)()(!21)()(11)1()2()1()(1111??????????????????????xgxgxfxgxflxxgxflxxPxfklkllllll?dd...2,1,0,0)()(11??????lmlmxxPxP lm d Company Logo Click to edit title style )(xPl 的范數(shù) ? ?? ?])()()1()()()1()()()()([)!2(1)()(!21)()(11)2(11)12(1)2()1()1()(211)()(22112xxgxgxgxgxgxgxgxglxxgxglxxPxPllllllllllllllddd?????????????????????????????????2112211221122)1()1()2)(1()1(11)1()!(2)!2()1()1()1()!(2)!2()1()()!2()1()!(21??????????????????????????????? ??llllllllllllxxlllxlxllxxxllxxglldd Company Logo Click to edit title style 12212)1()!2()!()!(2)!2()1()2()2)(1(!)1()1()2()2)(1(1)1(2)1(11122221121121???????????????????????????????????llxllllxxllllxlllxllllllld????得 122)(?? lxP l ),2,1,0( ??l展 開 定 理 ? ? ? ?2 1 , 1f x L? ? ? )()(0xPfxf lll?????設(shè) ，則有傅里葉級數(shù) xxPxfllxxPxfxpfllldd???????????? ????1121121)()(2122,1,0,)()()(1? Company Logo Click to edit title style ? ? ? ? ? ? ? ? 021 2 ??????? xyxyxxyx ? 167。 （ Bessel）方程和貝塞耳函數(shù) 貝塞耳方程 011 222 ????????? ??? yxxyxxy ?dddd 20)()()()( 222 ??????? xyxxyxxyx ?0x? 是方程的正則點(diǎn) v 是參數(shù) 設(shè)方程的解 ? ?00,0nnny x c x c??? ??? ?????? ???????????01)()(nnn xxy??????????????02)1)(()(nnn xnxy??? Company Logo Click to edit title style 代入方程 ? ? ? ? ? ? 220 0 0 010n n n nn n n nn n n nc n n x n c x c x c x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?消去因子 x?? ? 2 22000nnnnnnn c x c x??? ? ? ??????? ? ? ?????合并同類項(xiàng) ? ? ? ? ? ?? ?222 2 2 20 1 2210 nnnnc c x n c c x? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??0)( 022 ?? c?? ? ? 0)1( 122 ??? c??? ? 0)( 222 ???? ?nn c ?? ),4,3,2( ??n, , , Company Logo
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