powerpoint數(shù)學物理方法第二篇第四章分離變量法、本征函-在線瀏覽
2024-08-27 16:41本頁面
【正文】 C =0 0)s inc o s( ?? lhlD ???為了得到非零解， 0?D hl?? ??ta n Company Logo Click to edit title style l?? ? hl?? ??ta n令 ，有超越方程 于是得到可列個正根 n? ?tan?y hly???(正切曲線 與直線 交點的橫坐標 ) . . . )3,2,1(,)( 2 ?? nl nn ??因此得到本征值（可列個） 相應(yīng)的本征函數(shù)為 ,...)3,2,1(,s i n)( ?? nl xxX nn ?把本征值 2)(lnn?? ? 代入關(guān)于 T(t)的常微分方程 ...)3,2,1(,0)()()( 2 ???? ntTl atT nnn ?...)3,2,1(,)( 2)( ?? ? neCtT tl ann n?lxeCtTxXtxu ntl annnnn ??s i n)()(),(2)(??? Company Logo Click to edit title style ??????1)( s i n),( 2nntlan lxeCtxu n ???????1s in)(nnn lxCx ??)c o s1(21s i ns i n 2022nlnnhlxlxlx ??? ??? ? d...)3,2,1(,s i n)(c os1202??? ? nlhlClnnn ??????d??????1)( s i n),( 2nntlan lxeCtxu n ?? Company Logo Click to edit title style 167。 的變量分離 0??? uu ? 柱坐標 直角坐標與柱坐標的關(guān)系式為 )20,0(s i nc o s???????????????rzzryrx于是亥姆霍茲方程在柱坐標系下的表達式為 01)(1 22222 ???????????? uzuurrurrr ?? Company Logo Click to edit title style 設(shè) )()()(),( zZrRzru ?? Φ?，代入上式得 0)( 22222 ????? ZRzZRrRZrRrrrZ ΦΦΦ ?? dddddddd以 ZRu Φ? 除這式 011)(1 22222 ????? ?? zZZrrRrrrR dddddddd Φ???221 zZZ dd令 0)()( ???? zZzZ ?01)(1 222 ?????? ???ddddddrrRrrrR分離變量得 Company Logo Click to edit title style 0)()( 2 ???? ?? ΦΦ m0)()(1 222 ??? RrmkrRrrr dddd ?? ??2k若令 krx ? ，那么這個方程就化為 m階貝塞爾方程 0)1()(1 22??? RxmxRxxx dddd由此可見，用分離變量法把在柱坐標下的亥姆霍茲方程化為三個常微分方程， 它們中都含有未定參數(shù)（依次為 22 , km? ），這些參數(shù)的取值（本征值） 都由邊界條件確定 Company Logo Click to edit title style 例 4. 圓盤的溫度分布問題 設(shè)有半徑為 a的均勻圓盤，邊界的溫度為零度，初始時刻圓盤的溫度分布為 22 ra ? 求圓盤的溫度分布 . 解： 所求問題歸結(jié)為定解問題： ????????????????222)0,(),0(,0),()0,0(,0)1(rarututautaruruku rrrt有界令 )()(),( tTrRtru ? 代入方程分離變量 ????????? )( )()()( )(2 rrR rRrRrtTk tT Company Logo Click to edit title style 0)()( 2 ??? tTktT ?0)()()( 22 ?????? rRrrRrrRr ?有界),0( tu 0),( ?tau 0??由 得 不是本征值 . 當 0?? 時，方程為零階貝塞爾方程 ,有 )()( 0 rJrR ??0)( ?aR 0)(0 ?aJ ? ...)3,2,1( ?nn?正根為 本征值 . . .3,2,1,2???????? nann?? 本征函數(shù)為 . . . )3,2,1(,)( 0 ???????? nraJrR nn ? Company Logo Click to edit title style taknnnnnnnearJCtTrRtru22 )(101)()()(),(?? ????????? ??. . . )3,2,1(,)( 22 )( ?? ? neCtT taknn n?2210 )( raarJCnnn ???????由第一章 21
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