【正文】
za r g20ziw z e?a r g 221ziw z e???設(shè)想兩個(gè) z平面相重迭 ,在 割破處交叉 粘合:黎曼面 60 其它多值函數(shù) l n l n | | a r gz z i z??對數(shù)函數(shù): 反三角函數(shù): 221a r c si n l n( 1 )1a r c c os l n( 1)z i z ziz z zi? ? ?? ? ?a rc s inwz? 2 2 1 0i w iwe iz e? ? ?221[ 2 ( 2 ) 4 ]2 1iwe iz iziz z? ? ? ?? ? ?s in2iw iweezwi????21 l n ( 1 )w iz zi? ? ?問:反函數(shù)中的根式前取“ ”號行不行? 。 多值性 自變量 z: ? 根式函數(shù) ?z可取兩個(gè)值 w z a?? 采用極坐標(biāo) iwe??? iz a re ???則 0 , 1 , 2 ,2r n n?? ? ?? ? ? ? ? ?/21( / 2 ) / 22()()iiiw z r ew z r e r e?? ? ???? ? ?相對于 0 , 2 ,n ??相對于 1 , 3 ,n ? ? ?57 支點(diǎn) :對于多值函數(shù) w=f(z),若 z繞某點(diǎn)一周,函數(shù)值 w不復(fù)原,而在該點(diǎn)各單值分支函數(shù)值相同。 xvyuyvxu???????????作業(yè): P16, 1 2:( 1),( 2),( 4),( 5) 52 命題:作變量變換 , 后,則復(fù)變函數(shù) 2zzx ???2zzyi???( , ) ( , ) ( , )u x y iv x y f z z ???若函數(shù)在 G內(nèi)解析,則它不顯含 ,即 , zz?成為 的函數(shù),試證明, z? ( , )0f z zz??? ??證明: ( , ) ( ) ( )1 02f z z u i v x u i v yz x z y zu v v uix y x y?? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???結(jié)論:解析函數(shù)不顯含 是直接由 CR方程推導(dǎo)的,也是解析函數(shù)的必要條件。充分條件是函數(shù)的實(shí)部與虛部的導(dǎo)數(shù)存在,連續(xù)并滿足柯西-黎曼方程。 ?? ?????????? Cx dyy dxdyxudxyuyxv 22),((1) 全微分的積分與路徑無關(guān) ( 0 , ) ( , )( 0 , 0 ) ( 0 , )( , )( 0 , )( , ) 2 2 2 2 2 2y x yyxyyv x y y dx x dy y dx x dy Cy dx C x y C? ? ? ? ?? ? ? ????共軛調(diào)和函數(shù) 50 (2) )2(22),( xydx d yy d xyxdv ??? Cxyv ?? 2(3) )(2)(2),( xxyxx dyyxv ?? ???? ?視 x 為參量,對 y 積分 yyuxyxv 2)(39。 輻角 Argf ’(z0)表示映射前后切線的轉(zhuǎn)動角 0zdz0()fzdw()z w f z??46 作業(yè): P6: 3,( 1)( 4); P8, 1; P12,習(xí)題 指數(shù)函數(shù) )s i n( c o s yiyeeeee xiyxiyxz ???? ?對數(shù)函數(shù) l n l n l n ( 2 )iz e i n?? ? ? ?? ? ? ?冪函數(shù) ln zze???( + 2 ) 2ln 22i i n ni i ii e e e????? ? ?? ? ?例: 47 解析函數(shù) )(zf 在點(diǎn) 解析: 0z為區(qū)域 B 中解析函數(shù) 要求在這點(diǎn)及其鄰域上處處可導(dǎo) )(zf (在區(qū)域上的每一點(diǎn)解析) 例:函數(shù) 2()f z z?只在 z=0點(diǎn)可導(dǎo),因而在復(fù)平面上處處不解析 若函數(shù) f(z)在點(diǎn) z0不解析 ,則稱點(diǎn) z0是 f(z)的奇點(diǎn) f(z)在點(diǎn) z0 無定義或無確定值; f(z)在點(diǎn) z0 不連續(xù); f(z)在點(diǎn) z0 不可導(dǎo); f(z)在點(diǎn) z0 可導(dǎo) ,但找不到某個(gè)鄰域在其內(nèi)處處可導(dǎo) 48 解析函數(shù)性質(zhì): (1) 曲線族 21 ),(),( CyxvCyxu ?? 相互正交。 證: 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則二元函數(shù) u 和 v 的增量可分別寫為 12uuu x y x yxy ????? ? ? ? ? ? ? ? ???34vvv x y x yxy ????? ? ? ? ? ? ? ? ???隨著 則 0 0 0()l i m l i m l i mz z zu u v vx y i x yf u i v x y x yz z z? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?0( ) ( )l i mzuvx i y i x i yxxz????? ? ? ? ? ? ?? ?uvixx??????柯西 —黎曼方程 uvxyuvyx???????????這一極限是與 的方式無關(guān)的有限值 0z??0z??0? ?45 復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義 Z平面曲線 L W平面曲線 L’ ( A r g A r g )000 0 0 0( ) ( )( ) l im l im l im i w zz z zf z z f z wwf z ez z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ?0A r gA r gA r g ( )00( ) ( )iziwi f zz z ew w ef z f z e???? ? ?? ? ????(實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù):切線的斜率) 模 ?f 39。 0 xx ??實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù) 因此,復(fù)函數(shù)的可導(dǎo)性是比實(shí)函數(shù)的可導(dǎo)性條件強(qiáng)得多。()()ddddz dz dzddddz dz dzddzd dF dFdz d dz??????? ? ? ?? ? ? ? ??????? ? ?? ? ? ? ?????si n c osc os si n1lnzzdeedzdzzdzdzzdzdzdz z?????43 x y z zz ??39。 41 連續(xù)函數(shù): f(z)在區(qū)域 D內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)連續(xù) 導(dǎo)數(shù) 00( ) ( )l im l imzzf z z f z d fz z d z?? ? ? ?? ? ? ?????存在,并且與 ?z?0的方式無關(guān),則稱 f(z)在 z點(diǎn)可導(dǎo) 定義: ? =f(z)是區(qū)域 B上的單值函數(shù),若在 B上的某點(diǎn) z,極限 (實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義形式上一樣) 導(dǎo)數(shù)存在要求 f(z) 在點(diǎn) z連續(xù), (連續(xù)不一定可導(dǎo) ) 42 導(dǎo)數(shù)計(jì)算: 01 2 1 10()l i m( 1 )l i m [ ( ) ]2n n nzn n n nzdz z z zdz z