【正文】 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計(jì)原則 3. 提高算法效率 (1) 簡化計(jì)算步驟 ， 減少運(yùn)算次數(shù) 如： x255=xx2x4x8x16x32x64x128 又如：計(jì)算 pn(x) = anxn+an1xn1+… +a1x+a0 改為： （秦九韶法） ?????????????01)(0,1,2,2,1 sxpnnkaxssasnkkknn?167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計(jì)原則 2. 四則運(yùn)算的穩(wěn)定性 注：改變減法的 例子 xxxx ????? 1112s i n2c os12 xx ??nx xnxxxe !1!31!211 32 ?????????????1ar c tanar c tanar c tan???167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計(jì)原則 2. 四則運(yùn)算的穩(wěn)定性 (2) 避免相近兩數(shù)相減 有效數(shù)位會(huì)嚴(yán)重?fù)p失 如 x = ， y = ， 在 4位機(jī)上計(jì)算： z = x3 – y3 =()3 – ()3 = ? 101 – ? 101 = ? 10–2， 至多 1位有效數(shù)字 *2*1*2*2*1*1*2*1* )()()(xxxExxExxxEr ????167。 3 誤 差 34 數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計(jì)原則 1. 選用穩(wěn)定性好的算法 ， 以控制誤差的傳播 例 9 計(jì)算積分 n = 0, 1, 2, … , 7 解： (1) In = 1nIn1： ? (2) ： ? ?? 101 dxexeI xnn]|[1 10 110 ? ??? dxexnexeI xnxnn)( !7)( *0*7 IεδδIε ??nII nn???11 )( !7)(*7*0 IεδδIε ??)( * 11* ?? ???? nnnn IInII167。 3 誤 差 33 浮點(diǎn)基本運(yùn)算的誤差 3. 連加和連乘的誤差 例 312 y = x1+x2+x3 的兩種算法 . 解 ： (1) y = (x1+x2)+x3 (2) y = x1+(x2+x3) 故應(yīng)根據(jù) | x1+x2 |還是 | x2+x3 |較小來選用 (1)或 (2). 2121)( εεyxxyyyfl ????4332)( εεyxxyyyfl ?????167。 3 誤 差 33 浮點(diǎn)基本運(yùn)算的誤差 2. 浮點(diǎn)數(shù)的四則運(yùn)算 注 ： 若 x = 2111? ， y = 21? ， 則 111–1=110 ? t， 對(duì)階時(shí)有 ： y = 2111? （ 111101） ， 右移 6位 ， x?y =2111( ? ) = 2111? = x ——大數(shù)吃小數(shù) 167。 3 誤 差 33 浮點(diǎn)基本運(yùn)算的誤差 2. 浮點(diǎn)數(shù)的四則運(yùn)算 記 fl(x)的相對(duì)舍入誤差為 則 fl(x) – x = x?x， |?x | ? 2–t+1. 由此得到浮點(diǎn)數(shù)四則運(yùn)算產(chǎn)生的舍入誤差為： fl(x?y) = (x?y) + (x?y)?1,2=(x?y)(1+?1,2) fl(xy) = (xy)(1+?3) |?x | ? 2–t+1 x=1， 2， 3， 4. xxxflεx?? )()1)(()( 4??? yxyxflfl(x) = x + x?x = x(1+?x) 167。 3 誤 差 33 浮點(diǎn)基本運(yùn)算的誤差 1. 浮點(diǎn)數(shù)及其誤差 二進(jìn)實(shí)數(shù)： x = ? 2?? 0.?1?2… ?t… 其中 ?1 ? 0 機(jī)器數(shù)： x* = ? 2?? 0.?1?2… ?t 符號(hào) 階碼 尾數(shù) 稱 fl(x) = x*為 x的機(jī)器規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù) ， 簡稱浮點(diǎn)數(shù) . 記 ? = ? 0.?1?2… ?t… ， ?* = ? 0.?1?2… ?t， 則 x = 2? ?， x* = 2? ?* 尾數(shù)的長度由硬件決定 167。 ,139。)(),(39。)(),(39。,),( xfxfxxxxf ????)()()()()()()()(*2**1**2**2*1*2*1*1**2*1*1*2*2*1**2*1*1*2*2*1xExExExxxxxExxxxxxExExxExxxErrrrr??????167。)(yxExxfyxExxfyExExxfxExxfyEr ????*12*212121 39。)()(),(39。 3 誤 差 32 數(shù)值運(yùn)算的誤差 2. 四則運(yùn)算中的誤差 (2) 乘法： **2*2*12**1*2*11***2*2*12*1*2*11*)(),(39。 ,139。)(),(39。)(),(39。)(*2***2*2*12*1***1*2*11**2*2*12**1*2*11***2*2*12*1*2*11*xEyxxxfxEyxxxfyxExxfyxExxfyExExxfxExxfyErrr??????)()),(()()()),(()(**1**2*1*****1**2*1*krnk knkrknk knxExxxxfyxyExExxxxfyE????????????167。)()(),(39。)(),(39。 3 誤 差 32 數(shù)值運(yùn)算的誤差 2. 四則運(yùn)算中的誤差 四則運(yùn)算作為二元函數(shù)的特例： )(),(39。 (1) 設(shè) f具有二階導(dǎo)函數(shù) ， x*為 x的近似值 ， 則 )()())(()( )(!2)())(()()(******2*****xExfxxxfyExxξxxξfxxxfxfxfyy???????????????之間、介于167。 (1) 設(shè) f具有二階導(dǎo)函數(shù) ， x*為 x的近似值 ， 則 之間、介于 *2***** )(!2)())(()()(xxξxxξfxxxfxfxfyy??????????167。 解：因?yàn)??*= =??? ? = ??? 所以 ， |?* ? ?|=???； 故至少有 6位有效數(shù)字 ， 由定義 ， 其誤差 |E| = |?* ? ?| ? = ， 所以應(yīng)該是有 7位有效數(shù)字 11335511335567 *π| π*π| ?? ?????? ?167。 nrE??? 1021*167。 3 誤 差 定理 設(shè) x* = ? 10k ? … an（ a1? 0） 是 x的近似值 (2) 若 x*的相對(duì)誤差滿足： ， 則 x*至少具有 n位有效數(shù)字 。 3 誤 差 定理 設(shè) x* = ? 10k ? … an（ a1? 0） 是 x的近似值 (2) 若 x*的相對(duì)誤差滿足： ， 則 x*至少具有 n位有效數(shù)字 。 例 39 設(shè) (1) x1 = ， = (2) x2 = =， 分別求 與 的有效位數(shù)與相對(duì)誤差限 解： (2) 由 (2)， 至少有 2位有效數(shù)字 。 nrE??? 1021**1x*2x *2x*1x2*11*1*1*1021||||||)(???????????xxxxE r*1x167。 3 誤 差 定理 設(shè) x* = ? 10k ? … an（ a1? 0） 是 x的近似值 (2) 若 x*的相對(duì)誤差滿足： ， 則 x*至少具有 n位有效數(shù)字 。 3 誤 差 定理 設(shè) x* = ? 10k ? … an（ a1? 0） 是 x的近似值 (1) 若 x*具有 n位有效數(shù)字 ， 則其相對(duì)誤差滿足： 例 38 求 的近似值 ， 使其相對(duì)誤差不超過 % 解：因?yàn)? ， 設(shè) x*具有 n位有效數(shù)字 則其相對(duì)誤差滿足： （ 定理 (1)） 滿足此式有 n = 4， 故取 x*= 。 在實(shí)際應(yīng)用中 ， 為了要使取得的近似數(shù)的相對(duì)誤差滿足一定的要求 ， 可以用 (1)中的不等式來確定所取得近似數(shù)應(yīng)具有多少位有效數(shù)字 。 1* 1021 ???? nrEnrE??? 1021*167。 注： (1) 有效數(shù)位越多 ， 則相對(duì)誤差越小 ， 反之亦然 。 1*