希爾伯特空間中子空間的閉性與補性(參考版)
2024-08-24 12:32本頁面
【正文】 Sons: Inc. 1978 [2] 程其襄等 .實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ) (第二版 )[M].北京：高等教育出版社， 2020. [3] 王萼芳等 .高等代數(shù) (第三版 ) [M]. 北京：高等教育出版社 ,2020,2. [4] 王航平 .線性空間中有限維與無限維之差異 [J].中國計量學院學報 ,2020,14(1):6769. [5] 舒世昌 .無限維歐式空間中的正交補與正交子空間 [J].教育創(chuàng)新 ,2020,12(2):3131. [6] 余航 .關(guān)于 n 維歐式空間子空間的正交補 [J].桂林市教育學院學報 ,2020,14(4):9495. [7] 胡運紅等 .歐式空間中的子空間的正交補的探討 [J]. 運城學院學報 ,2020, 14(4):9495. [8] 郭永強 .模糊內(nèi)積空間中的投影定理 [J]. 華東船舶工業(yè)學院學報 ,2020,14(6):1315. [9] 劉證 .H正交性的注解和內(nèi)積空間的特征 [J].鞍山科技大學學報 ,2020,26(5):321323. [10] 曹云飛，雷智勇 . Hilbert空間中的廣義集值補問題 [J]. 四 川教育學院學報， 2020， 17(5):6163. 致 謝 我的畢業(yè)論文得到了我的指導老師 —胡付高副教授的大力支持與悉心指導 ,在此向胡老師表示衷心的感謝 ! 。因此當 M 是內(nèi)積空間 X 中的有限維子空間時 ,M 的正交補和直交補等價 。 下證 0MM?? ,即證 xM??? ,有 0xM? . 0x M X M M?? ? ? ? yM?? ? , 0zM?? ,使 x y z??, xM?? , ( , ) 0xy??, 即 ( , ) ( , ) ( , ) 0y z y y y z y? ? ? ?,又 0MM? , ( , ) 0zy??, ( , ) 0yy??, 0y??, 0x y z z M? ? ? ? ?, 0MM???, 由上可知 0MM?? . 注 4 由定理 7 可知內(nèi)積空間 X 中的子空間 M 的正交補一定是 M 的直交補 ,換句話說 M 的正 交補的條件比直交補的要強一些 。 MM???(2) 不一定成立 . 證明 只需舉出反例 : 歐氏空間 []X Rx? 按 ( ( ) , ( ) ) ( ) ( )baf x g x f x g x d x???成為內(nèi)積空間 ,令 ? ?( ) ( 0 ) 0M f x X f? ? ? ?? ?11 1 1 2, , , ,nnn n na x a x a x a a a R n N X??? ? ? ? ?, 則易證 M 是無限維內(nèi)積空間 X 的子空間 ,且 dim ( )rM? ? ??,下求 M?? : 對 ()g x M???有 ()f x M??, ( ( ), ( )) 0f x g x ? ， 11 取 2( ) , , , ,mf x x x x? ,()mN? ,則 2( ) ( ) ( ) 0b b b ma a ax g x d x x g x d x x g x d x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?()mN? , 方法 1 對 11 1 1() nnnnf x a x a x a x M??? ? ? ? ?,有 11( ( ) , ( ) ) ( ) ( )baf x x g x f x x g x d x??? 111( ) ( ) ( )b b bnnnna a aa x x g x d x a x x g x d x a x x g x d x??? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1211( ) ( ) ( ) 0b b bnna a aa x g x d x a x g x d x a x g x d x? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?, ()xg x M??? ,又 0 (0) 0g ? , ()xg x M??, ()xg x M M ?? ? ?, 由引理 8,知 ? ?0MM???, ( ) 0xg x??, ( ) 0gx??, ? ?0M???, ? ?0M X M???? ? ? ?, MM????,由引理 9,易證 X M M??? 不成立 . 方法 2 ( ) [ ]g x M R x???,設(shè) 11 1 0() kkkkg x b x b x b x b??? ? ? ?()kN? ,則 2( ) ( ) ( ) 0b b b ma a ax g x d x x g x d x x g x d x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?()mN?, 易知 : 1( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 0b b b ka a ax g x d x x x g x d x x x g x d x?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, 由引理 12,可知 ()xgx? 在 (a,b)上可找到 2k? 個互不相同的零點 , ? ()gx在 (a,b)上可找到 1k? 個互不相同的零點 , ()gx的次數(shù)為 k 1k? , ( ) 0gx??, ? ?0M???, MM????, 由引理 9,易證 X M M??? 不成立 . 注 3 由定理 6 可得到本文的主要結(jié)論 : 若 X 是內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的有限維子空間 ,則 X M M??? 與 MM??? 成 立 。 1, 2 , )i m n??， ? ?ny 是柯西點列 , 0???? , 0N??， ,pq N??，有 8 pqyy???，即 1 1 1 ()m m mp q ip i iq i ip iq ii i iy y x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 11( ( ) , ( ) )mmip iq i ip iq iiixx? ? ? ???? ? ??? 1 1 1 1 1 1( ( ) ( ) , ( ) ( ) )p q m p m q m p q m p m q mx x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 2 22 2 21 1 1 2 2 2 0p q p q m p m q mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 1 2 2p q p q m p m q? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?, 對每個 ( 1, 2, , )i i m? ,有 ??0 , 0N??, ,pq N??,有 2 2 21 1 2 2ip iq p q p q m p m q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , ?? ?對每個 ( 1, 2, , )i i m? ,有 ? ?1, 2ij j? ? 是柯西數(shù)列必收斂， 不妨設(shè) lim ( )ij ij ???? ??, ( 1,2, ,
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