希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性-文庫吧在線文庫
【正文】 n n nx y y x x y? ? ? ? ? ?, 又 nN? 時(shí) ,有 2nxx??? , 2nnx x x x x ?? ? ? ? ? ?,?當(dāng) nN? 時(shí) , nx 有界 , 令 2x ??L= ,My? ,則 ( , ) ( , ) ( )2 2 2n n n n n LMx y x y x y y x x y L M?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, lim ( , ) ( , )nnn x y x y????. 注 1 引理 2 說明 :若將 (,) 看作一個(gè)二元函數(shù) ,則此二元函數(shù)是連續(xù)的 ,即極限符號與內(nèi)積符號可以交換位置 : lim ( , ) ( lim , lim )n n n nn n nx y x y? ? ? ? ? ??. 引理 3 設(shè) X 為內(nèi)積空間 ,M 是 X 的子集 ,則 ?M 是 X 中的閉子空間 . 證明 先證 ?M 是 X 中的子空間：對 ,x y M??? , ,??? ?? ,則 zM?? ,有 4 ( , ) ( , ) 0x z y z??, ( , ) ( , ) ( , ) 0x y z x z y z? ? ? ?? ? ? ? ?, x y M?? ?? ? ? . 再證 ?M 是閉子空間：對 ? 收斂點(diǎn)列 ? ?nxM?? 且 nxx? ()n?? ,有 : nN?? , zM?? ,( , ) 0nxz? ,?由引理 2,有 ( , ) ( l im , ) l im ( , ) 0nnnnx z x z x z? ? ? ?? ? ?, xM??? , M?? 是閉子空間 . 引理 4 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 的非空子集 ,則 MM??? 成立 . 證明 對 xM?? , yM??? ,( , ) 0xy? , ? ?x M M?? ??? ? ?, MM???? . 引理 5 設(shè) A ,B 是內(nèi)積空間 X 中的非空子集且 AB? ,則 BA??? . 證明 對 yB??? , x A B? ? ? ,有 ( , ) 0xy? , yA??? , BA????. 引理 6??2 (投影定理 ) 設(shè) M 是 Hilbert 空間 X 中的閉子空間 ,則 X M M??? 成立 . 引理 7??2 設(shè) M 是 Hilbert 空間 X 中的閉子空間 ,則 MM??? 成立 . 引理 8 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 的線性子空間 ,則 ? ?0MM???. 證明 M 為線性子空間 , 0 M?? , 又 xM?? ,(0, ) 0x ? , 0 M??? , 0 MM?? ? ? , MM ??? ? ? , 對 x M M?? ? ? ,有 xM? 且 xM?? , ( , ) 0xx??, 0x??, ? ?0MM?? ? ? . 引理 9 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 的非空子集且 X M M??? ,則 MM??? 成立 . 證明 由 引理 4 知 MM??? ,下證 MM??? : 對 MX??? ? ?x ,由于 X M M??? y M M ???? ? ? , zM??? 有 x y z??, 由引理 3 有 MM?? ? ?=( ) 是 X 中的閉子空間 , z x y M z M M? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 應(yīng)用引理 8 有 ? ?00M M z? ??? ? ? ? , x y M? ? ? , M M M M?? ??? ? ? ?. 引理 10 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 的子空間 ,則 spanM M? . 證明 M spanM? 顯然成立 ,下證 spanM M? : 5 對 ,x spanM?? i?? ?? , ixM? ( 1, , )im? ,使1miiixx????, M 是子空間 ,1miiix x M??? ? ?? , spanM M??, spanM M??. 引理 11 設(shè) ? ?( ) ,f x C a b? 且 ( ) ( ) 0bbaaf x dx xf x dx????,則 12, ( , )ab????且12??? ,有 12( ) ( ) 0ff????. 證明 由積分中值定理 1 ( , )ab??? ,使1( ) ( ) ( ) 0ba f x d x f b a?? ? ??, 1 ( , )ab??? ? ,使 1( ) 0f ? ? .假設(shè) ( ) 0fx? 在 (, )ab 內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根 1x ?? ,則 由于 ? ?( ) ,f x C a b? 且 ( ) 0ba f x dx??,? ()fx在 1(, )a? 與 1( , )b? 上異號 , 不妨設(shè)在 1(, )a? 上 ( ) 0fx? ,在 1( , )b? 上 ( ) 0fx? , 10 ( )( )ba f x x dx?? ? ?? 1 111( ) ( ) ( ) ( ) 0ba f x x dx f x x dx? ???? ? ? ? ???矛盾 , ?假設(shè)不成立 , 2 ( , )ab??? ? 且 21??? ,有 2( ) 0f ? ? . 另證 令 ( ) ( )xaF x f t dt??, ? ?,x ab? ,則 ( ) ( ) 0F a F b??, 39。2 可知假設(shè)不成立 .? ( ) 0fx? 在 (, )ab 上不只有 1 2 1,k? ? ? ? 這 1k? 個(gè)根 , ? 2 ( , )k ab? ??? 且 2k?? 與 1 2 1,k? ? ? ? 都不相同 ,使 2( ) 0kf ? ? ? . 7 ?當(dāng) 1nk??時(shí) ,? 互不相同的 1 2 2, , ( , )k ab? ? ? ? ? ,有 1 2 2( ) ( ) ( ) 0kf f f? ? ? ?? ? ? 由 (1) ,(2) 可知對 nN?? 此命題都成 立 . 2 主要結(jié)論及證明 定理 1 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 中的子空間 ,則 MM???? ? X 的子空W,MW?? . 證明 ? 令 WM?? ,由引理 3 W 是內(nèi)積空間 X 中的閉子空間 ? ?W M M M?? ? ? ?? ? ? ? ? 由引理 4 有 MM??? , 下證 MM??? ， 由引 理 4 有 WW??? ,?由引理 5,有 W?? ? ??（W ） ， 即 W??? ??W , 又 MW?? , MM????, MM????. 推論 設(shè) W 是內(nèi)積空間 X 的非空子集 ,則 WW? ???? 成立 . 證明 由引理 3，知 W? 是內(nèi)積空間 X 中的子空間，令 MW?? ，由定理 1 得 MM??? ，即 ()WW? ? ??? ，亦即 WW? ???? 成立 . 注 也可以直接證明本推論，現(xiàn)證明如下： 對 W 與 W? 應(yīng)用引理 4，得 WW??? 與 ()WW? ? ??? 成立，對 WW??? 再應(yīng)用引理 5，得 )WW?? ? ??( ，故 .WW? ???? 現(xiàn)在我們討論
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