希爾伯特空間中子空間的閉性與補性(編輯修改稿)
2024-09-25 12:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ( ) ( ) 0kf f f? ? ? ?? ? ?.不妨設(shè) 1 2 1k? ? ? ?? ? ? ，則假設(shè) ( ) 0fx? 在 (, )ab上只有 1k? 個根 1 2 1,k? ? ? ? ，又由于 ? ?( ) ,f x C a b? ，且 ( ) 0ba f x dx??,則 39。1 當(dāng) k 為偶數(shù)，易知： ()fx在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kka ? ? ? ? ? ?? ? ?與 1 2 3 4 1( , ) ( , ) ( , )k b? ? ? ? ? ?? ? ?上異號 . 不妨設(shè)在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kka ? ? ? ? ? ?? ? ?上 ( ) 0fx? ,在 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? ? ? 1( , )k b?? 上 ( ) 0fx? .所以我們得到： 1 2 10 ( ) ( ) ( ) ( )b ka x x x f x d x? ? ? ?? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )ka x x x f x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? 21 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )kx x x f x dx?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0kb kx x x f x d x? ? ? ?? ?? ? ? ? ??矛盾 . 39。2 當(dāng) k 為奇數(shù)時，易知： ()fx在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kab? ? ? ? ?? ? ?與 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? 1( , )kk????? 上異號 . 不妨設(shè)在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )k? ? ? ? ?? ? ?上 ( ) 0fx? ,在 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? ? ? 1( , )kk??? 上 ( ) 0fx? .容易證明： 1 2 10 ( )( ) ( ) ( )b ka x x x f x d x? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )ka x x x f x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? 21 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )kx x x f x dx?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0kb kx x x f x d x? ? ? ?? ?? ? ? ? ??矛盾 . ?由 39。1 , 39。2 可知假設(shè)不成立 .? ( ) 0fx? 在 (, )ab 上不只有 1 2 1,k? ? ? ? 這 1k? 個根 , ? 2 ( , )k ab? ??? 且 2k?? 與 1 2 1,k? ? ? ? 都不相同 ,使 2( ) 0kf ? ? ? . 7 ?當(dāng) 1nk??時 ,? 互不相同的 1 2 2, , ( , )k ab? ? ? ? ? ,有 1 2 2( ) ( ) ( ) 0kf f f? ? ? ?? ? ? 由 (1) ,(2) 可知對 nN?? 此命題都成 立 . 2 主要結(jié)論及證明 定理 1 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 中的子空間 ,則 MM???? ? X 的子空W,MW?? . 證明 ? 令 WM?? ,由引理 3 W 是內(nèi)積空間 X 中的閉子空間 ? ?W M M M?? ? ? ?? ? ? ? ? 由引理 4 有 MM??? , 下證 MM??? ， 由引 理 4 有 WW??? ,?由引理 5,有 W?? ? ??（W ） ， 即 W??? ??W , 又 MW?? , MM????, MM????. 推論 設(shè) W 是內(nèi)積空間 X 的非空子集 ,則 WW? ???? 成立 . 證明 由引理 3，知 W? 是內(nèi)積空間 X 中的子空間，令 MW?? ，由定理 1 得 MM??? ，即 ()WW? ? ??? ，亦即 WW? ???? 成立 . 注 也可以直接證明本推論，現(xiàn)證明如下： 對 W 與 W? 應(yīng)用引理 4，得 WW??? 與 ()WW? ? ??? 成立，對 WW??? 再應(yīng)用引理 5，得 )WW?? ? ??( ，故 .WW? ???? 現(xiàn)在我們討論一般內(nèi)積空間 X 中的子空間 M 是否滿足 X M M??? 及 M? M?? ,先對有限維內(nèi)積空間 X 中的子空間 M 進(jìn)行討論 . 定理 2 有限維內(nèi)積空間 X 必為 Hilbert 空間 . 證明 只需證明 X 是完備的 . 設(shè) X 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 12, , , mx x x ()mN? , 則只需證明 ? 柯西點列 ? ?nyX? 有 ??ny 在 X 中收斂 ,可設(shè) ny1 ,min i ini x??? ???= ( 1, , 。 1, 2 , )i m n??， ? ?ny 是柯西點列 , 0???? , 0N??， ,pq N??，有 8 pqyy???，即 1 1 1 ()m m mp q ip i iq i ip iq ii i iy y x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 11( ( ) , ( ) )mmip iq i ip iq iiixx? ? ? ???? ? ??? 1 1 1 1 1 1( ( ) ( ) , ( ) ( ) )p q m p m q m p q m p m q mx x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 2 22 2 21 1 1 2 2 2 0p q p q m p m q mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 1 2 2p q p q m p m q? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?, 對每個 ( 1, 2, , )i i m? ,有 ??0 , 0N??, ,pq N??,有 2 2 21 1 2 2ip iq p q p q m p m q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , ?? ?對每個 ( 1, 2, , )i i m? ,有 ? ?1, 2ij j? ? 是柯西數(shù)列必收斂， 不妨設(shè) lim ( )ij ij ???? ??, ( 1,2, , )im? ,其中 i??? ( 1,2, , )im? ,則 令 1 1 2 2 mmy x x x? ? ?? ? ?,則 yX? 顯然成立 ,下證 ()y y n? ??n : 由 ()? 有 ??0 ,對每個 ( 1, 2, , )i i m? , 0iN??, inN?? ,in i m?????, ?對上述 ?0 ,1max( )iimNN? ????, nN??? ,有 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )n n n m n m m my y x x x x
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1