可測函數(shù)空間的完備性(編輯修改稿)
2024-09-13 09:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 則，對于這個(gè)，由依測度收斂于，存在自然數(shù),使時(shí)。所以， 即必要性：若對任何的，由于 故，且，由此可知。即依測度收斂于。【結(jié)論】可見，可測函數(shù)空間中,只要每一個(gè)Cauchy函數(shù)列 依測度收斂于，則這樣的空間就是完備的。 三、一個(gè)例子在這個(gè)例子中，將用到一個(gè)引理：若柯西列內(nèi)有收斂子序列，則它本身是收斂序列。例：可測函數(shù)空間是完備的。證明：設(shè)是柯西列，任取，有自然數(shù)，使得對每一對，都有。據(jù)此，對每一自然數(shù)可以找到一個(gè)自然數(shù), 使它滿足條件：⑴．⑵．由此得。由Levi定理知級數(shù)在 上幾乎處處收斂。任取它的一個(gè)收斂點(diǎn)，那么對充分大的總有 。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有。由于是收斂點(diǎn)，故產(chǎn)生矛盾。于是，對充分大的總有。由此得，收斂。從而便知在幾乎處處收斂。這相當(dāng)于序列的幾乎處處收斂。由于幾乎處處收斂蘊(yùn)含依測度收斂，那么是一依的距離收斂的序列。而它是的子列，故是依測度收斂的。從而證明了的完備性。【參考資料】[1] 孫永生等 《 泛函分析講義》 北京師
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