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正文內(nèi)容

實(shí)數(shù)完備性研究及應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)

2025-07-16 22:39 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ,且有 .??n ,an7同理,遞減有界數(shù)列 也有極限,并按區(qū)間套的條件(ii)有 ??nb,且 .????nnablimli ,21,??綜上,可得 .?nn下面證明滿足 的 是唯一的 。,b?設(shè)數(shù) 也滿足 ,39。?.2139。?ann?則由 有 .,.21,??ban ??,21,39。 ???na由區(qū)間套的條件(ii)得 ,故有 。0lim39。??nb?39。注 區(qū)間套定理中的閉區(qū)間若改為開區(qū)間, 那么結(jié)論不一定成立。例如對(duì)于開區(qū)間列 , 顯然 是不存在的。????????????n10? 推論 若 是一個(gè)區(qū)間套 所確定的點(diǎn),則對(duì)任????,.21??ban ????nba,給的 ,存在 ,使得當(dāng) 時(shí)有 。0??0NN???????。,Un? 證 由區(qū)間套定理的證明可得: 。???ablimli 由極限的保號(hào)性, 對(duì)于任意正數(shù) ? , 存在 正整數(shù) N, 當(dāng) 時(shí),n?有 , ,即 ,na???????b???????n這就是說(shuō) 。????。,U? 柯西收斂準(zhǔn)則及其證明 柯西收斂準(zhǔn)則 數(shù)列 收斂的充要條件是:對(duì)任給的 ,存在正整數(shù)??na 0??N使得當(dāng) 時(shí)有 。 mn?, ???mn]2[ 證 (必要性)設(shè) ,由數(shù)列極限的定義,對(duì)任給的 ,存在正Aa???li 0??整數(shù) ,使得當(dāng) 時(shí)有 N?, , 2???n 2???Aam因而有 。???aamnmn8 (充分性)由題設(shè),對(duì)任給的 ,存在正整數(shù) ,當(dāng) 時(shí),0??Nn?。 即當(dāng) 時(shí),有 。???NnaNn???????Nna,令 ,存在正整數(shù) ,當(dāng) 時(shí), ,21??11n?????????21,1Nnaa取 。??????????2,111Na??令 ,存在正整數(shù) ,當(dāng) 時(shí), ,222 ???????22,2NNn取 。???????11,22N?顯然有 , ,并且當(dāng) 時(shí), 。??21,?????2???2,??na .令 ,存在 ,當(dāng) 時(shí), ,k??1??kkn?????????kNkNnkk 1,取 。???????????221, kkNk a??? .這樣就得到一列閉區(qū)間 ,滿足???kb, (i) ;???,.21,1???abkk (ii) ;?????,02 (iii)對(duì) ,當(dāng) 時(shí), .????kNn???kna??,?由區(qū)間套定理,存在惟一的 。?,由區(qū)間套定理的推論,對(duì)任給的 ,存在 ,當(dāng) 時(shí)0??0Nn?,所以 。??????。,Ubann???na這就證明了 . 故數(shù)列 收斂。???nlim?? 魏爾斯特拉斯聚點(diǎn)定理及其證明聚點(diǎn)定理 實(shí)數(shù)軸上的任意有界無(wú)限點(diǎn)集必有聚點(diǎn)。 ]2[證 因?yàn)?為有界點(diǎn)集, 所以存在正數(shù) , 使 , 且記 SM??S??。??Mba,1??N?N?x9 現(xiàn)將 等分為兩個(gè)子區(qū)間. 因 為無(wú)限點(diǎn)集,故兩個(gè)子區(qū)間中至少??1,baS有一個(gè)含有 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),記此子區(qū)間為 ,則S??2,ba??21,ba?且 。Mab??)(2112 再將 等分為兩個(gè)子區(qū)間,則其中至少有一個(gè)含有 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),??, S取出這樣一個(gè)子區(qū)間,記為 ,則 ,??3,ba??32,ba?且 。2)(213ab?? 將此等分子區(qū)間的手續(xù)無(wú)限地進(jìn)行下去,得到一個(gè)區(qū)間列 ,它滿????nba,足 , ,???,.21,1???nbann )(021?????nMabnn即 是區(qū)間套,且其中每一個(gè)閉區(qū)間都含有 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。??S由區(qū)間套定理,存在唯一的一點(diǎn) 。??,.,?n?由區(qū)間套定理的推論,對(duì)任給的 ,存在 ,當(dāng) 時(shí)0??0Nn?.從而 內(nèi)含有 中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),按定義 8 為 的一??????。,Ubann????。S?S個(gè)聚點(diǎn)。 推論(致密性定理) 有界數(shù)列必有收斂子列。 ]2[ 證 設(shè) 為有界數(shù)列 .若 中有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則由這些項(xiàng)組成??nx??nx的子列是一個(gè)常數(shù)列,而常數(shù)列總是收斂的。 若數(shù)列 不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集必為有nx nx界無(wú)限點(diǎn)集,故由聚點(diǎn)定理,點(diǎn)集 至少有一個(gè)聚點(diǎn),記為 。??nx?于是按定義 8″,存在 的一個(gè)收斂子列(以 為其極限)。nx? 海涅博雷爾有限覆蓋定理及其證明10 有限覆蓋定理 設(shè) 為閉區(qū)間 的一個(gè)(無(wú)限)開覆蓋,則從 中可H??ba, H選出有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋 。??ba,]2[ 證 (論反證)假設(shè)定理的結(jié)不成立,則不能用 中有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋。??ba, 現(xiàn)將 等分為兩個(gè)子區(qū)間,則兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用,中有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋。記此子區(qū)間為 ,則 H??1,ba??ba,1?且 。)(211ab?? 再將 等分為兩個(gè)子區(qū)間,同樣,其中至少有一個(gè)子區(qū)間不能用 中??, H有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋。取出這樣一個(gè)子區(qū)間,記為 ,則 ,??2,ba??12,ba?且 。)(212abb?? 將此等分子區(qū)間的手續(xù)無(wú)限地進(jìn)行下去,得到一個(gè)區(qū)間列 ,它滿??n,足 , ,???,.21,1???nbann )(0)(21????abbnn即 是區(qū)間套,且其中每一個(gè)閉區(qū)間都不能用 中有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋。??H 由區(qū)間套定理,存在唯一的一點(diǎn) 。??,.21,??nba? 由于 是 的一個(gè)開覆蓋,故存在開區(qū)間 ,使 。H??ba, )(??),(????于是,由區(qū)間套定理的推論,當(dāng) 充分大時(shí)有 。n,?n這表明 只須用 中的一個(gè)開區(qū)間 就能覆蓋,與挑選 時(shí)n, )(??nba,的假設(shè)“不能用 中有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋 ”相矛盾。從而證得必存在屬于 的有限個(gè)開區(qū)間能覆蓋 。H??ba,注 定理的的結(jié)論只對(duì)閉區(qū)間 成立,而對(duì)開區(qū)間則不一定成立。??ba,113 實(shí)數(shù)完備性的循環(huán)證明及應(yīng)用 實(shí)數(shù)完備性定理的循環(huán)證明 ]8[首先使用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理 7 證 設(shè) 為直線上的有界無(wú)限點(diǎn)集. 于是存在 使 。S ba,??S,?假定 在任何點(diǎn)都不是 的聚點(diǎn),則對(duì)每一點(diǎn) 都存在相應(yīng)的??ba, Sx?,使得 內(nèi)至多包含 的有限多個(gè)點(diǎn)。0?x???xU?。令 ,則 是 的一個(gè)開覆蓋,據(jù)有限覆蓋定理,baH,??H??ba,中存在有限個(gè)鄰域 , , ,使得覆蓋了 ,從而也覆蓋了1。x.??nxU?。H。由于每個(gè)鄰域中至多含有 的有限個(gè)點(diǎn),故這 個(gè)鄰域的并集也至多只含SS有 的有限個(gè)點(diǎn),于是 為有限點(diǎn)集,這與題設(shè) 為無(wú)限點(diǎn)集矛盾。S 因此,在 中至少有一點(diǎn)是 的聚點(diǎn)。??ba,接下來(lái)用聚點(diǎn)定理證明柯西收斂準(zhǔn)則 證 設(shè)數(shù)列 為有界數(shù)列。若 中有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則由這些??n??na項(xiàng)組成的子列是一個(gè)常數(shù)列,而常數(shù)列總是收斂的。 若數(shù)列 不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集必為有nan界無(wú)限點(diǎn)集,故由聚點(diǎn)定理,點(diǎn)集 至少有一個(gè)聚點(diǎn),記為 。??na?于是按定義 8″,存在 的一個(gè)收斂子列(以 為其極限)。 設(shè)數(shù)列 滿足柯西條件。 先證明 ,取 ,則存在??nan 1??正整數(shù) ,當(dāng) 及 時(shí),有 。N1??mN?1???Nna 由此得 。11 ???? Nnaa令 ,則對(duì)一切正整數(shù) 均有 。},.x{21NMnMan? 于是,由致密性定理,有界數(shù)列 必有收斂子列 ,設(shè) 。??nk Akn???lim對(duì)認(rèn)給的 ,存在 ,當(dāng) 時(shí),同時(shí)有0??0KKkm?, (柯西條件)2???na12 ( )2???AaKn Aakn???lim因此當(dāng)取 時(shí),得到??knm??? ???????2kknnn這就證明了 。Aan??li然后用柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理 證 設(shè) ,對(duì)任何正數(shù) ,存在S ?整數(shù) ,使得 為 的上界,而 不是 的上界,即存?k??k???)1(??kS在,使得 。S???)1(???分別取 , ,則對(duì)每一個(gè)正整數(shù) ,存在相應(yīng)的 ,使得n?,.2nn?為n?的上界,而 不是 的上界,故存在 ,使得Sn1?SS??? (1)n1????又對(duì)正整數(shù) , 是 的上界,故有 . 結(jié)合(1)式得 m???m ; n?同理有 。m1?從而得 。??????n,ax?于是,對(duì)任給的 ,存在 ,使得當(dāng) 時(shí)有0??0NNmn? ???m由柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列 收斂. 記 ??n? (2)????nli現(xiàn)在證明 就是 的上確界。 首先,對(duì)任何 和正整數(shù) 有 ,由?SSa?nna??(2)式得 ,即 是 的一個(gè)上界。?a其次,對(duì)任何 ,由 及(2)式,對(duì)充分大的 同時(shí)有 0??)(1n , 。21??n2??n13又因 不是 的上界,故存在 ,使得 。n1??SS???n1????結(jié)合上式得 。??????2這說(shuō)明 為 的上確界。同理可證:若 為非空有下界數(shù)集,則必存在下確界。S接著用確界原理證明單調(diào)有界定理 證 不妨設(shè) 為有上界的遞增數(shù)列 。由確界原理,數(shù)列 有上確界,??na ??na記為 。下面證明 就是 的極限。sup???na. 事實(shí)上,任給 ,按上確界的定義,存在數(shù)列 中的某一項(xiàng) 使得0?? nN。 又由 的遞增性,當(dāng) 時(shí)有 。Na?????nN?Na???? 另一方面,由于 是數(shù)列 的一個(gè)上界,故對(duì)一切 都有 。an n???an所以當(dāng) 時(shí) ,這就證得 。n??????n an???lim同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限,且其極限即為它的下確界。現(xiàn)在用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理證 由定義 7 的條件(i)可知, 數(shù)列 為遞增有界數(shù)列, 依單調(diào)有界定??na理, 有極限 ,且有 。??na?,.21,??an?同理,遞減有界數(shù)列 也有極限,并按區(qū)間套的條件(ii)有 ??b,且 。???nnblimli ,.,?n 綜上,
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