第12講空間中的夾角和距離(編輯修改稿)
2024-07-26 16:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 又tanMBO=，∴BO=2x又S△MBE=BEMBsinMBE=BEMES△MBC=BCMBsinMBC=BCMN∴ME=MN，而ME=，MN=，解得x=。點(diǎn)評(píng)：該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題來處理。題型4：點(diǎn)面距離例4．（2006福建理，18）如圖，四面體ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2。（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面的距離。(1)證明：連結(jié)OC?！連O=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD。∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD。在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=。而AC=2，∴AO2+CO2=AC2,∴∠AOC=90176。,即AO⊥OC。∴AB平面BCD。（Ⅱ）解：取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC?！嘀本€OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。在△OME中，是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴∴∴異面直線AB與CD所成角的大小為（Ⅲ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.,∴S△ACD =AOS△CDE.在△ACD中，CA=CD=2,AD=,∴S△ACD=而AO=1, S△CDE=∴h=∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。題型5：線面距離例5．斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是邊長為4cm的正三角形，側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角，AA1=7。（1）求證：AA1⊥BC；（2）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的全面積；（3）求斜三棱柱ABC—A1B1C1的體積；（4）求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離。解析：設(shè)A1在平面ABC上的射影為0?！?∠A1AB=∠A1AC，∴ O在∠BAC的平行線AM上?！?△ABC為正三角形，∴ AM⊥BC。又AM為A1A在平面ABC上的射影，∴ A1A⊥BC （2）∵ B1B∥A1A，∴ B1B⊥BC，即側(cè)面BB1C1C為矩形?！?又，∴ S全= （3）∵ cos∠A1AB=cos∠A1AOcos∠OAB，∴ cos∠A1AO=∴ sin∠A1AO=，∴ A1O=A1Asin∠A1AO=∴ （4）把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A或A1到平面BB1C1C的距離為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影，首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1∵ BC⊥AM，BC⊥A1A∴ BC⊥平面AA1M1M∴ 平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC1B1在平行四邊形AA1M1M中過A1作A1H⊥M1M，H為垂足則A1H⊥側(cè)面BB1C1C∴ 線段A1H長度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離∴ 點(diǎn)評(píng)：線面距離往往轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離來處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。題型6：線面夾角例6．（2006浙江理，17）如圖，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC,∠BAD=90176。,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，
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