【正文】 間的完備特性所決定的 。 spanM 是閉包的線性包 。文獻(xiàn) [8]研究了模糊內(nèi)積空間中的投影定理 ,本文將探討一般內(nèi)積空間中投影定理成立的條件 ,并試圖減弱文獻(xiàn) [2]中的投影定理的條件 . 本文中 ,用 (, )xy 表示 x 與 y 的內(nèi)積 。設(shè) X 是無限維內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的無限維子空間 ,則 MM??? 不一定成立． 關(guān)鍵詞 ： 內(nèi)積空間；直交補；子空間；閉集 . Hilbert space neutron closed space with the plementary nature Huang xuemei (031114112,Department of Mathematics,Xiaogan University) Abstract: This article mainly discussed the inner product space X neutron spaceM to satisfy the condition which MM??? needed, and has proven below the main result: (1)supposes X is the inner product space, M is X center sub space, then MM??? when also only when has X sub spaceW , causes MW?? . (2)ifX is the inner product space, M is X center finiteDimensional the sub space, then MM??? establishment。 ? ?( , ) 0M x X x M? ? ? ?為 M 的直交補 。若內(nèi)積空間 X 是復(fù)的內(nèi)積空間時 ,? 是復(fù)數(shù)域 C 。 11( ) ( ) 0Ff????, 39。 1 , 2 , )n n n r n r iny x x x i r n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?, ? ?ny 是收斂點列必為柯西點列 , 0???? , 0N??, ,pq N??,有 pqyy???, 即1 1 1 ()r r rp q ip i iq i ip iq ii i iy y x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 11( ( ) , ( ) )rrip iq i ip iq iiixx? ? ? ???? ? ??? = 2 2 21 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )p q p q rp rq rx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 21 1 2 2p q p q r p r q r r?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?, ?對每個 ( 1,2, , )i i r? ,有 ??0 , 0N??, ,pq N??,有 2 2 21 1 2 2ip iq p q p q rp rq? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?對每個 ( 1,2, , )i i r? ,有 ? ?1, 2ij j? ? 是柯西數(shù)列必收斂 , 不妨設(shè) limij ij ???? ? ( 1,2, , )ir? ?(),其中 i??? ( 1,2, , )ir? ， 令 1 1 2 2 rry x x x? ? ???= ,則 yM? ,下證 yy?? : 由 ?()有 ??0 ,對每個 ( 1,2, , )i i r? , 0iN??, inN?? ,in i r?????， 對上述 ?0 ,1max( )iirNN? ????, nN??? ,有 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )n n n r n r ry y x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )n n r n r rx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1 1 2 2n n rn r? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?r r? ?? ? ? , lim nn yy?????由極限的唯一性 ,有 1 1 2 2 rry y x x x M? ? ?? ? ? ? ? ?, M? 為閉 子空間 . 定理 4 有限維內(nèi)積空間 X 的子空間 M 必滿足 X M M M M? ??? ? ?及 . 證明 由定理 2 和定理 3 可知 M 是 Hilbert 空間 X 中的閉子空間 ,由引理 6 和引理 7,有 X M M??? 及 MM??? 成立 . 那么無限維內(nèi)積空間 X 的子空間 M 是否滿足 X M M??? 及 MM??? ?下 10 面進(jìn)行討論 . 定理 5 設(shè) M 是無限維內(nèi)積空間 X 的子空間，且 dim ( )rM? ? ??, ? ?M x X x M? ? ? ?,則有 (1)MM?? , (2)X M M ???及 MM???(3) 成立 . 證明 易證 (1)成立 ,下證 (2)X M M ???成立 : 設(shè) M 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 12, , , rx x x ,則 對 xX?? ,令 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )rry x x x x x x x x x? ? ? ?,z x y?? ,則 yM? , 且 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )rrz x y x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?, 下證 zM?? ,只需證明 1,2, ,ir?? ,有 ( , ) 0izx? , 1 1 2 2( , ) ( ( , ) ( , ) ( , ) , )i r r iz x x x x x x x x x x x x? ? ? ? 1 1 2 2( , ) ( ( , ) , ) ( ( , ) , ) ( ( , ) , )i i i r r ix x x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ( , ) ( ( , ) , ) ( , ) ( , ) 0i i i i i ix x x x x x x x x x? ? ? ? ?, zM??? , x y z? ? ? ,其中 yM? ,zM?? , X M M ?? ? ? , MM?? , 所以 X M M??? .又由引理 9 知 MM??? 成立 . 注 2 以上定理說明若 M 是無限維內(nèi)積空間 X 的有限維子空間 ,則必滿足X M M??? 及 MM??? ,那么如果 M 是無限維內(nèi)積空間 X 的無限維子空間是否也有 X M M??? 及 MM??? 成立 ? 定理 6 設(shè) M 是無限維內(nèi)積空間 X 的子空間且 dim ( )rM? ? ??,則有(1) X M M ??