希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性-文庫吧資料
2024-08-28 12:32本頁面
【正文】 )im? ,其中 i??? ( 1,2, , )im? ,則 令 1 1 2 2 mmy x x x? ? ?? ? ?,則 yX? 顯然成立 ,下證 ()y y n? ??n : 由 ()? 有 ??0 ,對每個 ( 1, 2, , )i i m? , 0iN??, inN?? ,in i m?????, ?對上述 ?0 ,1max( )iimNN? ????, nN??? ,有 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )n n n m n m m my y x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ?+ + + + 1 1 1 2 2 2( ( (n n m n m mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?) ) + ) 1 1 1 2 2 2( ( (n n m n m mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?) ) ) 1 1 2 2n n m n m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?m m? ?? ? ? lim nn yy?????且 yX? ,即 ??ny 在 X 中收斂 , X? 為完備的內(nèi)積空間即 Hilbert 空間 . 定理 3 有限維內(nèi)積空間 X 的子空間 M 必為閉子空間 . 證明 只需證明 M 是閉的 ,即對 ? 收斂點列 ? ?nyM? 且 ()ny y n?? ? ?, 要證 yM?? .不妨設(shè)子空間 M 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 12, , , ( )rx x x r N?, 9 可設(shè) 1 1 2 2 , ( 1 , , 。1 , 39。1 當(dāng) k 為偶數(shù)，易知： ()fx在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kka ? ? ? ? ? ?? ? ?與 1 2 3 4 1( , ) ( , ) ( , )k b? ? ? ? ? ?? ? ?上異號 . 不妨設(shè)在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kka ? ? ? ? ? ?? ? ?上 ( ) 0fx? ,在 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? ? ? 1( , )k b?? 上 ( ) 0fx? .所以我們得到： 1 2 10 ( ) ( ) ( ) ( )b ka x x x f x d x? ? ? ?? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )ka x x x f x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? 21 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )kx x x f x dx?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0kb kx x x f x d x? ? ? ?? ?? ? ? ? ??矛盾 . 39。 22( ) ( ) 0Ff????,證畢 . 引理 12 設(shè) ? ?( ) ,f x C a b? 且 ( ) ( ) ( ) 0b b b na a af x d x x f x d x x f x d x? ? ? ?? ? ? ()nR? ,則 ? 互不相同的 1 2 1, , ( , )n ab? ? ? ? ? ,有 1 2 1( ) ( ) ( ) 0nf f f? ? ? ?? ? ?. 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 (1) 當(dāng) 1n? 時由引理 11 可知命題成立 。( ) ( )F x f x? , 又 0 ( ) ( ( ) )bbaaxf x d x xd F x????( ) (bba axF x F x dx??? ()ba F x dx???, ?由積分中值定理 ( , )c ab?? ,使 ( ) ( ) ( ) 0ba F x d x F c b a? ? ??,? ( ) 0Fc? . ?對 ()Fx在 ? ?,ac 和 ? ?,cb 上分別利用羅爾定理 , 則 1 ( , )ac??? , 2 ( , )cb??? , 使 39。另 外 12X M M??表示 X 等于 1M 與 2M 的直和 [3] ,即 xX?? , 1yM?? 2, zM?? 使 x y z??. 本文還類似文獻(xiàn) [3,7]在內(nèi)積空間中引入了正交補(bǔ)概念 :設(shè) 1M , 2M 是內(nèi)積空間 X 的子空間 ,若 12(1)MM? , 12(2)X M M??,就稱 2M 是 1M 的正交補(bǔ)．在文獻(xiàn) [5]中討論了無限維歐式空間中子空間直交補(bǔ) (即為文獻(xiàn) [5]中的正交子空間 )與正交補(bǔ)等價的條件 ,并且發(fā)現(xiàn)直交補(bǔ)與正交補(bǔ)是否相同是由歐式空間的完備特性所決定的 。 Hilbert 空間即完備的內(nèi)積空間 [3] 。若內(nèi)積空間 X 是實的內(nèi)積空間時 ,? 是實數(shù)域 R 。 ? 表示空集 。 spanM 是閉包的線性包 。 M 是 M 的閉包 。 1 , , ( 1 , 2 , , 。 limnn xx?? ?當(dāng)且僅當(dāng) lim 0nn xx?? ??。文獻(xiàn) [8]研究了模糊內(nèi)積空間中的投影定理 ,本文將探討一般內(nèi)積空間中投影定理成立的條件 ,并試圖減弱文獻(xiàn) [2]中的投影定理的條件 . 本文中 ,用 (, )xy 表示 x 與 y 的內(nèi)積 。 Sub space。 Supposes X is the infinite Uygurinner product space, M is X center infinite Uygur sub space, then MM??? not necessarily had been established. KeyWord: Inner product space。 1 希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性 摘要 ： 本文主要討論了內(nèi)積空間 X 中子空間 MM??? 所需的條件 ,并證明了以下主要結(jié)果： （ 1） 設(shè) X 是內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的子空間，則 M M X??? ? ?的子空間 W ,使得 MW?? . （ 2） 若 X 是內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的有限維子空間 ,則 MM??? 。設(shè) X 是無限維內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的無限維子空間 ,則 MM??? 不一定成立． 關(guān)鍵詞 ： 內(nèi)積空間；直交補(bǔ)；子空間；閉集 . Hilbert space neutron closed space with the plementary nature Huang xuemei (031114112,Department of Mathematics,Xiaogan University) Abstract: This article mainly discussed the inner product space X neutron spaceM to satisfy the condition which MM??? needed, and has proven below the main result: (1)supposes X is the inner product space, M is X center sub sp
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