希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性(存儲(chǔ)版)
【正文】 航平 .線性空間中有限維與無限維之差異 [J].中國計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020,14(1):6769. [5] 舒世昌 .無限維歐式空間中的正交補(bǔ)與正交子空間 [J].教育創(chuàng)新 ,2020,12(2):3131. [6] 余航 .關(guān)于 n 維歐式空間子空間的正交補(bǔ) [J].桂林市教育學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020,14(4):9495. [7] 胡運(yùn)紅等 .歐式空間中的子空間的正交補(bǔ)的探討 [J]. 運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020, 14(4):9495. [8] 郭永強(qiáng) .模糊內(nèi)積空間中的投影定理 [J]. 華東船舶工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020,14(6):1315. [9] 劉證 .H正交性的注解和內(nèi)積空間的特征 [J].鞍山科技大學(xué)學(xué)報(bào) ,2020,26(5):321323. [10] 曹云飛，雷智勇 . Hilbert空間中的廣義集值補(bǔ)問題 [J]. 四 川教育學(xué)院學(xué)報(bào)， 2020， 17(5):6163. 致 謝 我的畢業(yè)論文得到了我的指導(dǎo)老師 —胡付高副教授的大力支持與悉心指導(dǎo) ,在此向胡老師表示衷心的感謝 ! 。 1, 2 , )i m n??， ? ?ny 是柯西點(diǎn)列 , 0???? , 0N??， ,pq N??，有 8 pqyy???，即 1 1 1 ()m m mp q ip i iq i ip iq ii i iy y x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 11( ( ) , ( ) )mmip iq i ip iq iiixx? ? ? ???? ? ??? 1 1 1 1 1 1( ( ) ( ) , ( ) ( ) )p q m p m q m p q m p m q mx x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 2 22 2 21 1 1 2 2 2 0p q p q m p m q mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 1 2 2p q p q m p m q? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?, 對每個(gè) ( 1, 2, , )i i m? ,有 ??0 , 0N??, ,pq N??,有 2 2 21 1 2 2ip iq p q p q m p m q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , ?? ?對每個(gè) ( 1, 2, , )i i m? ,有 ? ?1, 2ij j? ? 是柯西數(shù)列必收斂， 不妨設(shè) lim ( )ij ij ???? ??, ( 1,2, , )im? ,其中 i??? ( 1,2, , )im? ,則 令 1 1 2 2 mmy x x x? ? ?? ? ?,則 yX? 顯然成立 ,下證 ()y y n? ??n : 由 ()? 有 ??0 ,對每個(gè) ( 1, 2, , )i i m? , 0iN??, inN?? ,in i m?????, ?對上述 ?0 ,1max( )iimNN? ????, nN??? ,有 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )n n n m n m m my y x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ?+ + + + 1 1 1 2 2 2( ( (n n m n m mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?) ) + ) 1 1 1 2 2 2( ( (n n m n m mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?) ) ) 1 1 2 2n n m n m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?m m? ?? ? ? lim nn yy?????且 yX? ,即 ??ny 在 X 中收斂 , X? 為完備的內(nèi)積空間即 Hilbert 空間 . 定理 3 有限維內(nèi)積空間 X 的子空間 M 必為閉子空間 . 證明 只需證明 M 是閉的 ,即對 ? 收斂點(diǎn)列 ? ?nyM? 且 ()ny y n?? ? ?, 要證 yM?? .不妨設(shè)子空間 M 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 12, , , ( )rx x x r N?, 9 可設(shè) 1 1 2 2 , ( 1 , , 。( ) ( )F x f x? , 又 0 ( ) ( ( ) )bbaaxf x d x xd F x????( ) (bba axF x F x dx??? ()ba F x dx???, ?由積分中值定理 ( , )c ab?? ,使 ( ) ( ) ( ) 0ba F x d x F c b a? ? ??,? ( ) 0Fc? . ?對 ()Fx在 ? ?,ac 和 ? ?,cb 上分別利用羅爾定理 , 則 1 ( , )ac??? , 2 ( , )cb??? , 使 39。 ? 表示空集 。 limnn xx?? ?當(dāng)且僅當(dāng) lim 0nn xx?? ??。 1 希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性 摘要 ： 本文主要討論了內(nèi)積空間 X 中子空間 MM??? 所需的條件 ,并證明了以下主要結(jié)果： （ 1） 設(shè) X 是內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的子空間，則 M M X??? ? ?的子空間 W ,使得 MW?? . （ 2） 若 X 是內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的有限維子空間 ,則 MM??? 。用 x 表示 x 的范數(shù) (由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)? ?2,6,9 即 ( , )x x x? )。 ()MM?? ? ?? , ()MM??? ?? ?? 。本文在文獻(xiàn) [4]和 [5]的啟發(fā)下 ,討論了當(dāng) M 是內(nèi)積空間 X 的子空間時(shí) , M 的 3 直交補(bǔ)與正交補(bǔ)的關(guān)系 . 1 引理及證明 引理 1??2 （ Schwarz 不等式）設(shè) X 按內(nèi)積 (, )xy 成為內(nèi)積空間 ,則對 ,x y X??， 成立不等式 ( , )x y x y?? 當(dāng)且僅當(dāng) x 與 y 線性相關(guān)時(shí) ,不等式取 “? ”． 引理 2 設(shè) X 為內(nèi)積空間 ,對 ? ? ? ?,nnx y X??,若 lim , limnnnnx x y y? ? ? ???,則 lim ( , ) ( , )nnn x y x y?? ? ． 證明 limnn xx?? ?, limnn yy?? ??對 0??? , 1 0N??,使得 1nN?? ,有 nxx? 2?? , 2 0N??,使得 2nN?? ,有 2nyy???．于是 , 12max( , )N N N?? , 當(dāng) nN?? 時(shí) , 有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n n nx y x y x y x y x y x y? ? ? ? ? ( ) ( , ) ( , ) ( , )n n n nx y x y x y x y? ? ? ?, ( ) ( )n n nx y y x x y? ? ? ?,（由引理 1）
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