【正文】 垂直 兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。 證明：設(shè) O 為 AC 中點，連接 EO， BO，則 EO∥＝ 12C1C，又 C1C∥＝ B1B，所以 EO∥＝ DB， EOBD 為平行四邊形， ED∥ OB。 （ 2） 證明： （ I）取 CD 中點 M，連結(jié) OM。 分析：（ 1）由于 C1D 所在平面 A1B1C1 垂直平面 A1B ，只要證明 C1D 垂直交線 A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得 C1D ⊥平面 A1B。（ 2）是開放性探索問題 ，注意采用逆向思維的方法分析問題。 第 17 頁 共 24 頁 ∴ DB ⊥ AB ， EC ⊥ BC。 例 6．（ 2020 京春理， 19）如圖所示，正四棱柱 ABCD— A1B1C1D1中，底面邊長為 2 2 ，側(cè)棱長為 ， F 分別為棱 AB， BC 的中點，EF∩ BD=G。 解法一：在 Rt△ D1HB1中， D1H=D1B1178。316172211716311 ?????? EFBS. 點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關(guān)系 .要求對圖形必須具備一定的洞察力。 O 1GOCDC1BAD1A1B1PA B C D 1A 1B 1C 1D 第 20 頁 共 24 頁 在 Rt△ AOG 中， tanAGO＝ 23222?? mGOOA ，即 m＝ 31 。 證明：（ 1）如圖 2 所示，∵ A1B1C1— ABC 是正三棱柱， ∴四邊形 B1BCC1 是矩形。又∠ FB1B=∠ C1BC，∴△ B1BF第 21 頁 共 24 頁 ∽△ BCC1，則BCBB1=1CCBF = BBBF1。 連結(jié) EC 、 ED （圖⑵） ∵ aBDBC ?? ， BE 為公共邊， ????? 60EBDEBC ， ∴ EBC? ≌ EBD? ∴ EDEC? ∵點 F 為 CD 中點 ∴ CDEF? 同理： ABFE? （圖⑶） 又 EEFAB ?? ， FEFCD ?? ， ∴ EF 即為異面直線 AB 與 CD 的公垂線段 如圖⑵，在 CEFRt? 中， ??? 90CFE ， aCF 21? ， aCE 23? ， ∴ aaaEF222123 22 ????????????????? ∴異面直線 AB 與 CD 的距離 a22 。 （ 2）（ 2020上海， 7）命題 A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 ②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運用的過程。運用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。 五．思維總結(jié) 1．通過典型問題掌握基本解題方法，高考中立體幾何解答題基本題型是： （Ⅰ）證明空間線面平行或垂直； （Ⅱ）求空間中線面的夾角或距離； （Ⅲ）求幾何體的側(cè)面積及體積。 題型 6：課標(biāo)創(chuàng)新題 例 11．（ 1）（ 2020 全國， 16）如圖（ 1）所示， E、 F 分別為正方體的面 ADD1A面BCC1B1 的中心，則四邊形 BFD1E 在該正方體的面上的射影可能是圖（ 2）的 （要求：把可能的圖的序號 都 ． 填上） 圖（ 1） 圖（ 2） 答案：②③ 解析：∵面 BFD1E⊥面 ADD1A1，所以四邊形 BFD1E 在面 ADD1A1 上的射影是③，同理，在面 BCC1B1 上的射影也是③。 題型 5：垂直的應(yīng)用 例 9．已知 A 是邊長為 a 的正三角形 BCD 所在平面外一點， ?? ACAB aAD? ，求異面直線 AB 與 CD 的距離。 ∵ BC1⊥ AB1，∴ BC1⊥ B1F。 （ 1）證明 AB1∥ DBC1； （ 2）假設(shè) AB1⊥ BC1， BC=2。 解法 1：（Ⅰ）連 AC，設(shè) AC 與 BD相交于點 O,AP與平面 11BDDB 相交于點，連結(jié) OG， 因為 PC∥平面 11BDDB ，平面 11BDDB ∩平面APC＝ OG， 故 OG∥ PC，所以 OG＝ 21 PC＝ 2m 。 （Ⅲ） 311111 ??? ?? EFBDEFDB VVV178?！?EF⊥ BD. ∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1。 （ 3）∵ DM ⊥平面 ECA ， DM ? 平面 DEA ， ∴ 平面 DEA ⊥平面 ECA。 證明：（ 1）如圖，取 EC 中點 F ，連結(jié) DF。 事實上，∵ C1D ⊥平面 AA1BB ， AB1 ? 平面 AA1B1B ， ∴ C1D ⊥ AB1 ．又 AB1 ⊥ DF ， DF ? C1D ＝ D ， ∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。 例 4．如圖，直三棱柱 ABC— A1B1C1 中， AC ＝ BC ＝ 1，∠ ACB ＝ 90176。CDE ； （ II）設(shè) 3,BC CD? 證明 EO? 平面。 點評：以垂直為背景，加強空間想象能力的考查，體現(xiàn)了立體幾何從考查、論證思想。 直線與平面垂直的判定定理： 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面 。 （ 3）解答題多采用一題多問的方式，這樣既降低了起點又分散了難點。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 11） — 空間中的垂直關(guān)系 一．課標(biāo)要求： 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根據(jù)定義作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無棱二面角先作出棱后同上進行。 因此，求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平面的位置關(guān)系的論證。 解析：（Ⅰ）證明：取 CD 的中點 K ，連結(jié),MK NK ∵ ,MNK 分別為 1,AK CD CD 的中點， 第 10 頁 共 24 頁 ∵ 1// , //M K AD N K DD，∴ //MK 面 11ADDA ， //NK 面 11ADDA ∴面 //MNK 面 11ADDA ∴ //MN 面 11ADDA （Ⅱ）設(shè) F 為 AD 的中點 ∵ P 為 11AD 的中點 ∴ 1//PF DD ∴ PF? 面 ABCD 作 FH AE? ，交 AE 于 H ，連結(jié) PH ，則由三垂線定理得 AE PH? 。 BB1，代入求得 d= 616112 ，即兩平行平面間的距離為 616112 。 點評：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。 題型 6：線面夾角 例 6．（ 2020 浙江理， 17） 如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面為直角梯形， AD∥ BC,∠ BAD=90176。 題型 5：線面距離 例 5． 斜三棱柱 ABC— A1B1C1 中，底面是邊長為 4cm 的正三角形，側(cè)棱 AA1 與底面兩邊 AB、 AC 均成 600 的角， AA1=7。 ,0?OCBD ?? ∴ AB? 平面 BCD。 題型 4：點面距離 圖 第 6 頁 共 24 頁 例 4．（ 2020 福建理， 18）如圖，四面體 ABCD 中， O、 E 分別 BD、 BC 的中點，CA=CB=CD=BD=2。 解析：過 M 作 MO⊥ EF，交 EF 于 O，則 MO⊥平面 BCFE. 如圖所示，作 ON⊥ BC，設(shè) OM=x， 又 tanMBO=21 ，∴ BO=2x 又 S△ MBE=21 BE178。 因為 AC BC SB? ? ?2 13 29， ，由勾股定理，得 AB SA SC? ? ?17 2 3 4， 。 圖 1 E O C B D A C 39。，所以O(shè)O a1 2 33? ，所以異面直線 BD 與 BC1 之間的距離為 33a 。C。D和平面 AB39。C39。與 AC 的距離。D，所以 A39。 連結(jié) DA39。 39。 除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。 90176。 求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。 2．掌握點、直線到平面的距離，直線和平面所成的角； 3．掌握平行平面間的距離，會求二面角及其平面角； 二．命題走向 高考立體幾何試題一般共有 4 道 (選擇、填空題 3 道 , 解答題 1 道 ), 共計總分 27分左右 ,考查的知識點在 20 個以內(nèi)。 ○ 2 等體積法。 ]和 [0176。 3． 等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等 。 解法 1：如圖 1 連結(jié) A39。過 O 作 OE⊥ DO39。 又 O39。 178。C、 AB39?！?AC， A39。C39。 B C A D B 39。 A 39。又四邊形 ABCD 是平行四邊形。 ME S△ MBC=21 BC178。 ∵ BO=DO,AB=AD, ∴ AO⊥ BD。 在△ OME 中， ,121,2221 ???? DCOEABEM OM? 是直角△ AOC 斜邊 AC 上的中線，∴ ,121 ?? ACOM ∴ ,4