【導讀】求會計算已給出公垂線時的距離）。3．掌握平行平面間的距離，會求二面角及其平面角；右,考查的知識點在20個以內。隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著“多。位置關系的論證，角與距離的探求是常考常新的熱門話題。的分步設問中一定有求夾角、距離的問題，分值為6分左右；型問題,當然,二者均應以正確的空間想象為前提。線線距，線面距，面面距。指相應線段的長度，懂得幾種距離之間的轉化關系，所有這些都是十分重要的。求法：○1“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。容易找出或作出，可用體積等積法計算求之。（“±”符號由實際。種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。除特殊位置外，主要是指平。，其中S為斜面面積，S′。又O'D⊥OE，所以OE⊥面A'C'D。因此OE為直線DA'與AC的距離。29，求異面直線SC與。內的一條直線，l與AB

　　

【正文】 直線 AP 與平面11BDDB 所成角的正切值為 32； （Ⅱ）在線段 11AC 上是否存在一個定點 Q，使得對任意 的 m ， D1Q 在平面 1APD 上的射影垂直于 AP ，并證明你的結論。 解法 1：（Ⅰ）連 AC，設 AC 與 BD相交于點 O,AP與平面 11BDDB 相交于點，連結 OG， 因為 PC∥平面 11BDDB ，平面 11BDDB ∩平面APC＝ OG， 故 OG∥ PC，所以 OG＝ 21 PC＝ 2m 。 又 AO⊥ BD,AO⊥ BB1，所以 AO⊥平面 11BDDB ， 故∠ AGO 是 AP 與平面 11BDDB 所成的角。 O 1GOCDC1BAD1A1B1PA B C D 1A 1B 1C 1D 第 20 頁 共 24 頁 在 Rt△ AOG 中， tanAGO＝ 23222?? mGOOA ，即 m＝ 31 。 所以，當 m＝31時，直線 AP 與平面 11BDDB 所成的角的正切值為 32。 （Ⅱ）可以推測，點 Q 應當是 AICI 的中點 O1， 因為 D1O1⊥ A1C1, 且 D1O1⊥ A1A ，所以 D1O1⊥平面 ACC1A1， 又 AP ? 平面 ACC1A1，故 D1O1⊥ AP。 那么根據三垂線定理知， D1O1在平面 APD1 的射影與 AP 垂直。 點評：本小題主要考查線面關系、直線于平面所成的角的有關知識及空間想象能力和推理運算能力，考查運用向量知識解決 數學問題的能力。 例 8．如圖 1 所示，已知 A1B1C1— ABC 是正三棱柱， D 是 AC 的中點。 （ 1）證明 AB1∥ DBC1； （ 2）假設 AB1⊥ BC1， BC=2。 求線段 AB1 在側面 B1BCC1 上的射影長。 證明：（ 1）如圖 2 所示，∵ A1B1C1— ABC 是正三棱柱， ∴四邊形 B1BCC1 是矩形。 連結 B1C，交 BC1 于 E，則 BE=EC。 連結 DE，在△ AB1C 中，∵ AD=DC， ∴ DE∥ AB1，又因為 AB1? 平面 DBC1， DE 平面 DBC1，∴ AB1∥平面 DBC1。 （ 2）作 AF⊥ BC，垂足為 F。因為面 ABC⊥面 B1BCC1， ∴ AF⊥平面 B1BCC1。連結 B1F，則 B1F 是 AB1 在平面 B1BCC1 內的射影。 ∵ BC1⊥ AB1，∴ BC1⊥ B1F。 ∵四邊形 B1BCC1是矩形，∴∠ B1BF=∠ BCC1=90176。，又∠ FB1B=∠ C1BC，∴△ B1BF第 21 頁 共 24 頁 ∽△ BCC1，則BCBB1=1CCBF = BBBF1。 又 F 為正三角形 ABC 的 BC 邊中點，因而 B1B2=BF178。 BC=1179。 2=2。 于是 B1F2=B1B2+BF2=3，∴ B1F= 3 ，即線段 AB1在平面 B1BCC1內的射影長為 3 。 點評：建立直線和平面的位置關系與點、線在平面上的射影間的關系。 題型 5：垂直的應用 例 9．已知 A 是邊長為 a 的正三角形 BCD 所在平面外一點， ?? ACAB aAD? ，求異面直線 AB 與 CD 的距離。 解析：分別取 AB 、 CD 中點 E 、 F ，連結 EF （圖⑴）。 連結 EC 、 ED （圖⑵） ∵ aBDBC ?? ， BE 為公共邊， ????? 60EBDEBC ， ∴ EBC? ≌ EBD? ∴ EDEC? ∵點 F 為 CD 中點 ∴ CDEF? 同理： ABFE? （圖⑶） 又 EEFAB ?? ， FEFCD ?? ， ∴ EF 即為異面直線 AB 與 CD 的公垂線段 如圖⑵，在 CEFRt? 中， ??? 90CFE ， aCF 21? ， aCE 23? ， ∴ aaaEF222123 22 ????????????????? ∴異面直線 AB 與 CD 的距離 a22 。 點評：求異面直線的距離，必須先找到兩條異面直線的公垂線段。 例 10．如圖，在空間四邊形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分別是邊 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中點，對角線 aBDAC ?? 且它們所成的角為 ?30 。 ⑴求證： HFEG? ，⑵求四邊形 EFGH 的面積。 F C A B D E F C A B D E F C A B D E 圖⑴ 圖⑵ 圖⑶ A B C D E F G H 第 22 頁 共 24 頁 解析：⑴在 ABD? 中， E 、 H 分別是邊 AB 、 AD 的中點，∴ EH ∥ BD21， 在 CBD? 中， F 、 G 分別是邊 CB 、 CD 的中點，∴ FG ∥ BD21， ∴ EH ∥ FG 且 BDFGEH21??， 同理： EF ∥ HG 且 ACHGEF21??， ∵ aBDAC ?? ， ∴ aHEGHFGEF21????， ∴四邊形 EFGH 為菱形，∴ HFEG? 。 ⑵∵ EF ∥ AC ， FG ∥ BD ， ∴ EFG? （或 EFG? 的補角）即為異面直線 AC 與 BD 所成的角， 由已知得： ??? 30EFG （或 ??? 150EFG ）， ∴四邊形 EFGH 的面積為： 2812122s i n212 aaaE F GFGEF ?????????? ?????。 題型 6：課標創(chuàng)新題 例 11．（ 1）（ 2020 全國， 16）如圖（ 1）所示， E、 F 分別為正方體的面 ADD1A面BCC1B1 的中心，則四邊形 BFD1E 在該正方體的面上的射影可能是圖（ 2）的 （要求：把可能的圖的序號 都 ． 填上） 圖（ 1） 圖（ 2） 答案：②③ 解析：∵面 BFD1E⊥面 ADD1A1，所以四邊形 BFD1E 在面 ADD1A1 上的射影是③，同理，在面 BCC1B1 上的射影也是③。 第 23 頁 共 24 頁 過 E、 F 分別作 DD1 和 CC1 的垂線，可得四邊形 BFD1E 在面 DCC1D1上的射影是②，同理在面 ABB1A1，面 ABCD 和面 A1B1C1D1上的射影也是②。 （ 2）（ 2020上海， 7）命題 A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 命 題 A 的等價命題 B 可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。 答案：側棱相等（或側棱與底面所成角相等??） 解析：要使命題 B 與命題 A 等價，則只需保證頂點在底面上的射影 S 是底面正三角形的外心即可，因此，據射影定理，得側棱長相等。 例 12．（ 1999 全國， 18） α 、 β 是兩個不同的平面， m、 n 是平面 α 及 β 之外的兩條不同直線 .給出四個論斷： ① m⊥ n ② α ⊥ β ③ n⊥ β ④ m⊥ α 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的 一個． ． 命題： 。 答案： m⊥ α ， n⊥ β ， α ⊥ β ? m⊥ n 或 m⊥ n， m⊥ α ， n⊥ β ? α ⊥ β 點評：本題主要考查線線、線面、面面之間關系的判定與性質 .但題型較新穎，主要表現在：題目中以立體幾何知識為背景，給出了若干材料，要求學生能將其組裝成具有一定邏輯關系的整體。考查知識立足課本，對空間想象能力、分析問題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現了加強能力考查的方向。 五．思維總結 1．通過典型問題掌握基本解題方法，高考中立體幾何解答題基本題型是： （Ⅰ）證明空間線面平行或垂直； （Ⅱ）求空間中線面的夾角或距離； （Ⅲ）求幾何體的側面積及體積。 證明空間線面平行或垂直需注意以下幾點： ①由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。 ②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。 ③明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論。 ④三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應優(yōu)先考慮 .應用時常需先認清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線 、射影、面內直線的位置，再根據定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直 .另外通過計算證明線線垂直也是常用的方法之一。 垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉化關系 ： 1新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 平行轉化 ： 線線平行 ? 線面平行 ? 面面平行； 2新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 垂直轉化 ： 線線 垂直 ? 線面垂直 ? 面面垂直 ； 每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉向另一垂直或平行最終達到目的 。 第 24 頁 共 24 頁 例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直。 2． “升降維”思想 直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的。運用降維的方法把立體空間問題轉化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。運用升維的方法 把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學會學習”的重要方法。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉化運用的過程。 2．反證法 反證法是立體幾何中常用的間接證明方法。 其步驟是：①否定結論；②進行推理；③導出矛盾；④肯定結論．用反證法證題要注意：①宜用此法否；②命題結論的反面情況有幾種。