【導(dǎo)讀】求會計算已給出公垂線時的距離）。3．掌握平行平面間的距離，會求二面角及其平面角；右,考查的知識點在20個以內(nèi)。隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著“多。位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題。的分步設(shè)問中一定有求夾角、距離的問題，分值為6分左右；型問題,當(dāng)然,二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。線線距，線面距，面面距。指相應(yīng)線段的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。求法：○1“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。容易找出或作出，可用體積等積法計算求之。（“±”符號由實際。種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。除特殊位置外，主要是指平。，其中S為斜面面積，S′。又O'D⊥OE，所以O(shè)E⊥面A'C'D。因此OE為直線DA'與AC的距離。29，求異面直線SC與。內(nèi)的一條直線，l與AB

　　

【正文】 直線 AP 與平面11BDDB 所成角的正切值為 32； （Ⅱ）在線段 11AC 上是否存在一個定點 Q，使得對任意 的 m ， D1Q 在平面 1APD 上的射影垂直于 AP ，并證明你的結(jié)論。 解法 1：（Ⅰ）連 AC，設(shè) AC 與 BD相交于點 O,AP與平面 11BDDB 相交于點，連結(jié) OG， 因為 PC∥平面 11BDDB ，平面 11BDDB ∩平面APC＝ OG， 故 OG∥ PC，所以 OG＝ 21 PC＝ 2m 。 又 AO⊥ BD,AO⊥ BB1，所以 AO⊥平面 11BDDB ， 故∠ AGO 是 AP 與平面 11BDDB 所成的角。 O 1GOCDC1BAD1A1B1PA B C D 1A 1B 1C 1D 第 20 頁 共 24 頁 在 Rt△ AOG 中， tanAGO＝ 23222?? mGOOA ，即 m＝ 31 。 所以，當(dāng) m＝31時，直線 AP 與平面 11BDDB 所成的角的正切值為 32。 （Ⅱ）可以推測，點 Q 應(yīng)當(dāng)是 AICI 的中點 O1， 因為 D1O1⊥ A1C1, 且 D1O1⊥ A1A ，所以 D1O1⊥平面 ACC1A1， 又 AP ? 平面 ACC1A1，故 D1O1⊥ AP。 那么根據(jù)三垂線定理知， D1O1在平面 APD1 的射影與 AP 垂直。 點評：本小題主要考查線面關(guān)系、直線于平面所成的角的有關(guān)知識及空間想象能力和推理運算能力，考查運用向量知識解決 數(shù)學(xué)問題的能力。 例 8．如圖 1 所示，已知 A1B1C1— ABC 是正三棱柱， D 是 AC 的中點。 （ 1）證明 AB1∥ DBC1； （ 2）假設(shè) AB1⊥ BC1， BC=2。 求線段 AB1 在側(cè)面 B1BCC1 上的射影長。 證明：（ 1）如圖 2 所示，∵ A1B1C1— ABC 是正三棱柱， ∴四邊形 B1BCC1 是矩形。 連結(jié) B1C，交 BC1 于 E，則 BE=EC。 連結(jié) DE，在△ AB1C 中，∵ AD=DC， ∴ DE∥ AB1，又因為 AB1? 平面 DBC1， DE 平面 DBC1，∴ AB1∥平面 DBC1。 （ 2）作 AF⊥ BC，垂足為 F。因為面 ABC⊥面 B1BCC1， ∴ AF⊥平面 B1BCC1。連結(jié) B1F，則 B1F 是 AB1 在平面 B1BCC1 內(nèi)的射影。 ∵ BC1⊥ AB1，∴ BC1⊥ B1F。 ∵四邊形 B1BCC1是矩形，∴∠ B1BF=∠ BCC1=90176。，又∠ FB1B=∠ C1BC，∴△ B1BF第 21 頁 共 24 頁 ∽△ BCC1，則BCBB1=1CCBF = BBBF1。 又 F 為正三角形 ABC 的 BC 邊中點，因而 B1B2=BF178。 BC=1179。 2=2。 于是 B1F2=B1B2+BF2=3，∴ B1F= 3 ，即線段 AB1在平面 B1BCC1內(nèi)的射影長為 3 。 點評：建立直線和平面的位置關(guān)系與點、線在平面上的射影間的關(guān)系。 題型 5：垂直的應(yīng)用 例 9．已知 A 是邊長為 a 的正三角形 BCD 所在平面外一點， ?? ACAB aAD? ，求異面直線 AB 與 CD 的距離。 解析：分別取 AB 、 CD 中點 E 、 F ，連結(jié) EF （圖⑴）。 連結(jié) EC 、 ED （圖⑵） ∵ aBDBC ?? ， BE 為公共邊， ????? 60EBDEBC ， ∴ EBC? ≌ EBD? ∴ EDEC? ∵點 F 為 CD 中點 ∴ CDEF? 同理： ABFE? （圖⑶） 又 EEFAB ?? ， FEFCD ?? ， ∴ EF 即為異面直線 AB 與 CD 的公垂線段 如圖⑵，在 CEFRt? 中， ??? 90CFE ， aCF 21? ， aCE 23? ， ∴ aaaEF222123 22 ????????????????? ∴異面直線 AB 與 CD 的距離 a22 。 點評：求異面直線的距離，必須先找到兩條異面直線的公垂線段。 例 10．如圖，在空間四邊形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分別是邊 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中點，對角線 aBDAC ?? 且它們所成的角為 ?30 。 ⑴求證： HFEG? ，⑵求四邊形 EFGH 的面積。 F C A B D E F C A B D E F C A B D E 圖⑴ 圖⑵ 圖⑶ A B C D E F G H 第 22 頁 共 24 頁 解析：⑴在 ABD? 中， E 、 H 分別是邊 AB 、 AD 的中點，∴ EH ∥ BD21， 在 CBD? 中， F 、 G 分別是邊 CB 、 CD 的中點，∴ FG ∥ BD21， ∴ EH ∥ FG 且 BDFGEH21??， 同理： EF ∥ HG 且 ACHGEF21??， ∵ aBDAC ?? ， ∴ aHEGHFGEF21????， ∴四邊形 EFGH 為菱形，∴ HFEG? 。 ⑵∵ EF ∥ AC ， FG ∥ BD ， ∴ EFG? （或 EFG? 的補角）即為異面直線 AC 與 BD 所成的角， 由已知得： ??? 30EFG （或 ??? 150EFG ）， ∴四邊形 EFGH 的面積為： 2812122s i n212 aaaE F GFGEF ?????????? ?????。 題型 6：課標(biāo)創(chuàng)新題 例 11．（ 1）（ 2020 全國， 16）如圖（ 1）所示， E、 F 分別為正方體的面 ADD1A面BCC1B1 的中心，則四邊形 BFD1E 在該正方體的面上的射影可能是圖（ 2）的 （要求：把可能的圖的序號 都 ． 填上） 圖（ 1） 圖（ 2） 答案：②③ 解析：∵面 BFD1E⊥面 ADD1A1，所以四邊形 BFD1E 在面 ADD1A1 上的射影是③，同理，在面 BCC1B1 上的射影也是③。 第 23 頁 共 24 頁 過 E、 F 分別作 DD1 和 CC1 的垂線，可得四邊形 BFD1E 在面 DCC1D1上的射影是②，同理在面 ABB1A1，面 ABCD 和面 A1B1C1D1上的射影也是②。 （ 2）（ 2020上海， 7）命題 A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 命 題 A 的等價命題 B 可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。 答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等??） 解析：要使命題 B 與命題 A 等價，則只需保證頂點在底面上的射影 S 是底面正三角形的外心即可，因此，據(jù)射影定理，得側(cè)棱長相等。 例 12．（ 1999 全國， 18） α 、 β 是兩個不同的平面， m、 n 是平面 α 及 β 之外的兩條不同直線 .給出四個論斷： ① m⊥ n ② α ⊥ β ③ n⊥ β ④ m⊥ α 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的 一個． ． 命題： 。 答案： m⊥ α ， n⊥ β ， α ⊥ β ? m⊥ n 或 m⊥ n， m⊥ α ， n⊥ β ? α ⊥ β 點評：本題主要考查線線、線面、面面之間關(guān)系的判定與性質(zhì) .但題型較新穎，主要表現(xiàn)在：題目中以立體幾何知識為背景，給出了若干材料，要求學(xué)生能將其組裝成具有一定邏輯關(guān)系的整體?？疾橹R立足課本，對空間想象能力、分析問題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強能力考查的方向。 五．思維總結(jié) 1．通過典型問題掌握基本解題方法，高考中立體幾何解答題基本題型是： （Ⅰ）證明空間線面平行或垂直； （Ⅱ）求空間中線面的夾角或距離； （Ⅲ）求幾何體的側(cè)面積及體積。 證明空間線面平行或垂直需注意以下幾點： ①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。 ②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。 ③明確何時應(yīng)用判定定理，何時應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。 ④三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應(yīng)優(yōu)先考慮 .應(yīng)用時常需先認(rèn)清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線 、射影、面內(nèi)直線的位置，再根據(jù)定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直 .另外通過計算證明線線垂直也是常用的方法之一。 垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系 ： 1新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 平行轉(zhuǎn)化 ： 線線平行 ? 線面平行 ? 面面平行； 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 垂直轉(zhuǎn)化 ： 線線 垂直 ? 線面垂直 ? 面面垂直 ； 每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達到目的 。 第 24 頁 共 24 頁 例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。 2． “升降維”思想 直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的。運用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。運用升維的方法 把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學(xué)會學(xué)習(xí)”的重要方法。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運用的過程。 2．反證法 反證法是立體幾何中常用的間接證明方法。 其步驟是：①否定結(jié)論；②進行推理；③導(dǎo)出矛盾；④肯定結(jié)論．用反證法證題要注意：①宜用此法否；②命題結(jié)論的反面情況有幾種。