【正文】 ?? 1 2。 在 RtSAC? 中， c o s? ? ?S C AACSC 12，在 RtACB? 中，c o s? ? ?C A BACAB 217。 第 5 頁(yè) 共 24 頁(yè) SABCD 圖 2 在 ?SCD 中，由余弦定理，得： c o s ? ? ? ?? ? ?S C D SC DC SDSC DC2 2 22 1717。 MB178。 sinMBC=21 BC178。 （Ⅰ）求證： AO⊥平面 BCD； （Ⅱ）求異面直線 AB 與 CD 所成角的大??； （Ⅲ）求點(diǎn) E 到平面的距離。 在△ AOC 中，由已知可得 AO=1,CO= 3 。 （Ⅱ）解：取 AC 的中點(diǎn) M,連結(jié) OM、 ME、 OE，由 E 為 BC 的中點(diǎn)知 ME∥ AB,OE∥ DC。 AO178。 （ 1）求證： AA1⊥ BC； （ 2）求斜三棱柱 ABC— A1B1C1的全面積； （ 3）求斜三棱柱 ABC— A1B1C1的體積； （ 4）求 AA1 到側(cè)面 BB1C1C 的距離。 又 AM 為 A1A在平面 ABC 上的射影，∴ A1A⊥ BC （ 2） 3142 374ABAs i nAAABSS11BBAACCAA 1111 ???????? ∵ B1B∥ A1A，∴ B1B⊥ BC，即側(cè)面 BB1C1C 為矩形。 ,PA⊥底面 ABCD，且 PA＝ AD=AB=2BC， M、 N 分別為 PC、 PB 的中點(diǎn)。 因?yàn)?AD? 平面 PAB ，所以 AD PB? ， 從而 PB? 平面 ADMN . 因?yàn)?DM? 平面 ADMN ，所以 PB DM? . （ II）取 AD 的中點(diǎn) G ，連結(jié) BG 、 NG ，則//BG CD ， 所以 BG 與平面 ADMN 所成的角和 CD 與平面ADMN 所成的角相等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。易求 A1C1=5， A1B=2 5 ， BC1= 13 ，則 cosA1BC1=652，則 sinA1BC1=6561，則S111 CBA?= 61 。 （ 3）解：由于線段 B1D1 被平面 A1BC1所平分，則 B D1到平面 A1BC1 的距離相等，則由（ 2）知點(diǎn) B1 到平面 A1BC1 的距離等于 616112 。 題型 8：面面角 例 8．（ 2020 四川理， 19） 如圖，在長(zhǎng)方體1 1 1 1ABCD A B C D? 中， ,EP分別是 11,BC AD 的中點(diǎn)， ,MN 分別是 1,AECD 的 中 點(diǎn) ，1 ,2A D A A a A B a? ? ?。 從而 PHF? 為二面角 P AE D??的平面角。 點(diǎn)評(píng)： 求角和距離的基本步驟是作、證、算。 五．思維總結(jié) 空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決． 第 11 頁(yè) 共 24 頁(yè) 1． 空間 的 角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念， 由 它們的定義， 可得其 取值范圍 ，如兩異面直線所成的角 θ∈ (0，2?)，直線與平面所 成的角 θ∈ 0,2???????，二面角的大小，可用它們的平面角來(lái)度量，其平面角 θ∈ (0，π )。 （ 2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)（斜足），然后在直線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。間接法主要是投影法：即在一個(gè)平面α上的圖形面積為 S，它在另一個(gè)平面β上的投影面積為 S′，這兩個(gè)平面的夾角為θ，則 S′ =Scosθ。 ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì) .而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法 . ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形最終求得所需的角與距離 求距離的關(guān)鍵是化歸。 通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理： ◆ 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 二．命題走向 近年來(lái)，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，常常立足于棱柱、棱錐和正方體，復(fù)習(xí)是要以多面體為依托，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn)。 三．要點(diǎn)精講 1．線線垂直 判斷線線垂直的方法： 所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。 注意： ⑴ 三垂線指 PA， PO， AO都垂直 α 內(nèi)的直線 a 奎屯王新敞 新疆 其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 奎屯王新敞 新疆 ⑵ 要考慮 a的位置，并注意兩定理交替使用 。 直線和平面垂直的性質(zhì)定理 ： 如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面 ,那 么 這兩條直線平行 。 四．典例解析 題型 1：線線垂直問題 例 1． 如圖 1 所示，已知正方體 ABCD— A1B1C1D1 中， E、 F、 G、 H、 L、 M、 N 分別為 A1D1， A1B1， BC， CD， DA， DE， CL 的中點(diǎn)，求證： EF⊥ GF。 例 2．（ 2020全國(guó)Ⅱ， 19）如圖，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1中， AB＝ BC， D、 E 分別為 BB AC1的中點(diǎn)，證明： ED 為異面直線 BB1 與 AC1 的公垂線。 題型 2：線面垂直問題 例 3．（ 1）（ 2020 北 京文， 17） 如圖， ABCD— A1B1C1D1 是正四棱柱，求證： BD⊥平面 ACC1A1。 證明：（ 1） ∵ ABCD— A1B1C1D1 是正四棱柱， A B C D E A1 B1 C1 O F A BCDA1 B1C 1D 1第 15 頁(yè) 共 24 頁(yè) ∴ CC1⊥平面 ADCD, ∴ BD⊥ CC1 ∵ ABCD 是正方形 ∴ BD⊥ AC 又∵ AC， CC1? 平面 ACC1A1, 且 AC∩ CC1=C, ∴ BD⊥平面 ACC1A1。 （ II）連結(jié) FM。 AA1 ＝ 2 ， D 是 A1B1 中點(diǎn)．（ 1）求證 C1D ⊥平面 A1B ；（ 2）當(dāng)點(diǎn) F 在 BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得 AB1 ⊥平面 C1DF ？并證明你的結(jié)論。 又 D 是 A1B1 的中點(diǎn)，∴ C1D ⊥ A1B1 。 點(diǎn)評(píng)：本題（ 1）的證明中，證得 C1D ⊥ A1B1 后，由 ABC— A1B1C1 是直三棱柱知平面 C1A1B1 ⊥平面 AA1B1B ，立得 C1D ⊥平面 AA1B1B。（ 2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。 ∵ EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ，得 DB ⊥平面 ABC 。 （ 2）取 AC 中點(diǎn) N ，連結(jié) MN 、 NB ， ∵ M 是 EA 的 中點(diǎn)， ∴ MN 21EC。 點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。 ∵正四棱柱 ABCD— A1B1C1D1 的底面是正方形。 第 18 頁(yè) 共 24 頁(yè) （Ⅱ）解：在對(duì)角面 BDD1B1 中，作 D1H⊥ B1G，垂足為 H ∵平面 B1EF⊥平面 BDD1B1，且平面 B1EF∩平面 BDD1B1=B1G， ∴ D1H⊥平面 B1EF，且垂足為 H，∴點(diǎn) D1 到平面 B1EF 的距離 d=D1H。 解法三：如圖所示，連接 D1G，則三角形 D1GB1 的面積等于正方形 DBB1D1 面積的一半 .即 21 B1G178。 d178。 點(diǎn)評(píng)：直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解決兩條直線的主要途徑之一，另外，三垂線定理及逆定理、兩條直線所成的角等也是證明兩條直線垂直的常用的方法。 又 AO⊥ BD,AO⊥ BB1，所以 AO⊥平面 11BDDB ， 故∠ AGO 是 AP 與平面 11BDDB 所成的角。 那么根據(jù)三垂線定理知， D1O1在平面 APD1 的射影與 AP 垂直。 求線段 AB1 在側(cè)面 B1BCC1 上的射影長(zhǎng)。 （ 2）作 AF⊥ BC，垂足為 F。 ∵四邊形 B1BCC1是矩形，∴∠ B1BF=∠ BCC1=90176。 2=2。 解析：分別取 AB 、 CD 中點(diǎn) E 、 F ，連結(jié) EF （圖⑴）。 ⑴求證： HFEG? ，⑵求四邊形 EFGH 的面積。 第 23 頁(yè) 共 24 頁(yè) 過(guò) E、 F 分別作 DD1 和 CC1 的垂線，可得四邊形 BFD1E 在面 DCC1D1上的射影是②，同理在面 ABB1A1，面 ABCD 和面 A1B1C1D1上的射影也是②。 例 12．（ 1999 全國(guó)， 18） α 、 β 是兩個(gè)不同的平面， m、 n 是平面 α 及 β 之外的兩條不同直線 .給出四個(gè)論斷： ① m⊥ n ② α ⊥ β ③ n⊥ β ④ m⊥ α 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的 一個(gè)． ． 命題： 。 證明空間線面平行或垂直需注意以下幾點(diǎn)： ①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。 垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系 ： 1新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 平行轉(zhuǎn)化 ： 線線平行 ? 線面平行 ? 面面平行； 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 垂直轉(zhuǎn)化 ： 線線 垂直 ? 線面垂直 ? 面面垂直 ； 每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達(dá)到目的 。運(yùn)用升維的方法 把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的重要方法。