【正文】 E、 F分別是 AB 和 CD 的中點(diǎn)，將正方形沿 EF 折成直二面角（如圖所示） .M 為矩形 AEFD 內(nèi)一點(diǎn)，如果∠ MBE=∠ MBC， MB和平面 BCF 所成角的正切值為 21 ，那么點(diǎn) M 到直線 EF 的距離為 。又四邊形 ABCD 是平行四邊形。 由題意，知 SA? 平面 ABC， ACBC? ，由三垂線定理，知 SCBC? ，所以 BC? 平面 SAC。 A 39。 D 39。 B C A D B 39。 不 難 算 出 BO D O a1 2 33? ?39。C39。D∥面 AB39?！?AC， A39。C39。C、 AB39。 解法 2：如圖 2連接 A39。 178。 因此 OE 為直線 DA39。 又 O39。D39。過(guò) O 作 OE⊥ DO39。D39。 解法 1：如圖 1 連結(jié) A39。 39。 3． 等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等 。 （ 2）直線和平面所成的角 求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來(lái)。 ]和 [0176?！狈?hào)由實(shí)際情況選定） 2．夾角 空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要 理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為 ( 0176。 ○ 2 等體積法。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離．因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。 2．掌握點(diǎn)、直線到平面的距離，直線和平面所成的角； 3．掌握平行平面間的距離，會(huì)求二面角及其平面角； 二．命題走向 高考立體幾何試題一般共有 4 道 (選擇、填空題 3 道 , 解答題 1 道 ), 共計(jì)總分 27分左右 ,考查的知識(shí)點(diǎn)在 20 個(gè)以內(nèi)。隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施 ,立體幾何考題正朝著“多一 點(diǎn)思考 ,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展，從歷年的考題變化看 , 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題。 求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離，直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。 （ 3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （ 4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。 90176。 180176。 除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等 。 39。C39。 連結(jié) DA39。于 E 因?yàn)?A39。D，所以 A39。D⊥ OE，所以 OE⊥面 A39。與 AC 的距離。39。C39。A39。D和平面 AB39。D∥ B39。C。D 和平面AB39。，所以O(shè)O a1 2 33? ，所以異面直線 BD 與 BC1 之間的距離為 33a 。 C 39。 圖 1 E O C B D A C 39。 O 1 圖 2 第 4 頁(yè) 共 24 頁(yè) SACB 圖 1 解法 1：用公式 當(dāng)直線 AB? 平面 ??A ， AB 與 ? 所成的角為 ?1 ， l 是 ? 內(nèi)的一條直線， l 與 AB在 ? 內(nèi) 的射影 AB39。 因?yàn)?AC BC SB? ? ?2 13 29， ，由勾股定理，得 AB SA SC? ? ?17 2 3 4， 。 由勾股定理，得： DC AB SA SD? ? ? ?17 2 3 5， 。 解析：過(guò) M 作 MO⊥ EF，交 EF 于 O，則 MO⊥平面 BCFE. 如圖所示，作 ON⊥ BC，設(shè) OM=x， 又 tanMBO=21 ，∴ BO=2x 又 S△ MBE=21 BE178。 MB178。 題型 4：點(diǎn)面距離 圖 第 6 頁(yè) 共 24 頁(yè) 例 4．（ 2020 福建理， 18）如圖，四面體 ABCD 中， O、 E 分別 BD、 BC 的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2。 ∵ BO=DO,BC=CD, ∴ CO⊥ BD。 ,0?OCBD ?? ∴ AB? 平面 BCD。 S△ ACD =31 178。 題型 5：線面距離 例 5． 斜三棱柱 ABC— A1B1C1 中，底面是邊長(zhǎng)為 4cm 的正三角形，側(cè)棱 AA1 與底面兩邊 AB、 AC 均成 600 的角， AA1=7。 ∵ △ ABC 為正三角形，∴ AM⊥ BC。 題型 6：線面夾角 例 6．（ 2020 浙江理， 17） 如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面為直角梯形， AD∥ BC,∠ BAD=90176。 解析： （ I）因?yàn)?N 是 PB 的中點(diǎn)， PA PB? ，所以AN PB? 。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。 （ 2）解：設(shè)兩平行平面 A1BC1 與 ACD1 間的距離為 d，則 d等于 D1到平面 A1BC1 的距離。 BB1，代入求得 d= 616112 ，即兩平行平面間的距離為 616112 。這個(gè)輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過(guò)對(duì)這個(gè)平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問(wèn)題就迎刃而解了。 解析：（Ⅰ）證明：取 CD 的中點(diǎn) K ，連結(jié),MK NK ∵ ,MNK 分別為 1,AK CD CD 的中點(diǎn)， 第 10 頁(yè) 共 24 頁(yè) ∵ 1// , //M K AD N K DD，∴ //MK 面 11ADDA ， //NK 面 11ADDA ∴面 //MNK 面 11ADDA ∴ //MN 面 11ADDA （Ⅱ）設(shè) F 為 AD 的中點(diǎn) ∵ P 為 11AD 的中點(diǎn) ∴ 1//PF DD ∴ PF? 面 ABCD 作 FH AE? ，交 AE 于 H ，連結(jié) PH ，則由三垂線定理得 AE PH? 。 （Ⅲ）12 2 211 1 1 542 4 4 4N E P E C D PS S B C C D a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?矩 形 ， 作 1DQ CD? ，交 1CD 于 Q ，由 11AD? 面 11CDDC 得 11AC DQ? ， ∴ DQ? 面 11BCDA ， ∴在 1Rt CDD? 中， 112255C D D D aaD Q aCD a? ?? ? ?， ∴ 13P D E N D E N P N E PV V S D Q? ? ?? ? ?21 5 234 5aa??316a?。 因此，求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平面的位置關(guān)系的論證。方法二是補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根據(jù)定義作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無(wú)棱二面角先作出棱后同上進(jìn)行。作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則 .此外在解答題 中一般不用公式“ cosθ ＝SS?”求二面角否則要適當(dāng)扣分。 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 11） — 空間中的垂直關(guān)系 一．課標(biāo)要求： 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。 能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。 （ 3）解答題多采用一題多問(wèn)的方式，這樣既降低了起點(diǎn)又分散了難點(diǎn)。 推理模式： ,PO OPA A a AOa a AP?????? ??? ? ????? ?。 直線與平面垂直的判定定理： 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面 。 兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直 ? 線面垂直）若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 點(diǎn)評(píng)：以垂直為背景，加強(qiáng)空間想象能力的考查，體現(xiàn)了立體幾何從考查、論證思想。 點(diǎn)評(píng)：該題考點(diǎn)多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理增強(qiáng)。CDE ； （ II）設(shè) 3,BC CD? 證明 EO? 平面。 FO? ∥ EM. 又 FO? 平面 CDE，且 EM? 平面 CDE， FO? ∥ 平面 CDE。 例 4．如圖，直三棱柱 ABC— A1B1C1 中， AC ＝ BC ＝ 1，∠ ACB ＝ 90176。 （ 1）證明：如圖，∵ ABC— A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝ B1C1 ＝ 1，且∠ A1C1B1 ＝ 90176。 事實(shí)上，∵ C1D ⊥平面 AA1BB ， AB1 ? 平面 AA1B1B ， ∴ C1D ⊥ AB1 ．又 AB1 ⊥ DF ， DF ? C1D ＝ D ， ∴ AB1 ⊥平面 C1DF 。 分析：（ 1）證明 DE ＝ DA ，可以通過(guò)圖形分割，證明△DEF ≌△ DBA。 證明：（ 1）如圖，取 EC 中點(diǎn) F ，連結(jié) DF。 又 BA ＝ BC ＝ DF ， ∴ Rt△ DEF ≌ Rt△ ABD ，所以 DE ＝ DA。 （ 3）∵ DM ⊥平面 ECA ， DM ? 平面 DEA ， ∴ 平面 DEA ⊥平面 ECA。 （Ⅰ）證法一：連接 AC?！?EF⊥ BD. ∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1。 .17