【正文】 sinMBE=21 BE178。 ME S△ MBC=21 BC178。 MB178。 sinMBC=21 BC178。 MN ∴ ME=MN，而 ME= 15 2?x ， MN= 12?x ，解得 x= 22 。 點評：該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題來處理。 題型 4：點面距離 圖 第 6 頁 共 24 頁 例 4．（ 2020 福建理， 18）如圖，四面體 ABCD 中， O、 E 分別 BD、 BC 的中點，CA=CB=CD=BD=2。 （Ⅰ）求證： AO⊥平面 BCD； （Ⅱ）求異面直線 AB 與 CD 所成角的大小； （Ⅲ）求點 E 到平面的距離。 (1)證明：連結(jié) OC。 ∵ BO=DO,AB=AD, ∴ AO⊥ BD。 ∵ BO=DO,BC=CD, ∴ CO⊥ BD。 在△ AOC 中，由已知可得 AO=1,CO= 3 。 而 AC=2，∴ AO2+CO2=AC2, ∴∠ AOC=90176。,即 AO⊥ OC。 ,0?OCBD ?? ∴ AB? 平面 BCD。 （Ⅱ）解：取 AC 的中點 M,連結(jié) OM、 ME、 OE，由 E 為 BC 的中點知 ME∥ AB,OE∥ DC。 ∴直線 OE 與 EM 所成的銳角就是異面直線 AB 與 CD 所成的角。 在△ OME 中， ,121,2221 ???? DCOEABEM OM? 是直角△ AOC 斜邊 AC 上的中線，∴ ,121 ?? ACOM ∴ ,42cos ??OEA ∴異面直線 AB 與 CD 所成角的大小為 .42arccos （Ⅲ）解：設(shè)點 E 到平面 ACD 的距離為 h. CDEAA CDA VV ?? ?? , ∴ h31 178。 S△ ACD =31 178。 AO178。 S△ CDE. 在△ ACD 中， CA=CD=2,AD= 2 , ∴ S△ ACD= ,27222221 32 ???????????? 第 7 頁 共 24 頁 而 AO=1, S△ CDE= ,2324321 2 ??? ∴ h= ,72127231??????A C DC DESSAO ∴點 E 到平面 ACD 的距離為 721 。 點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。 題型 5：線面距離 例 5． 斜三棱柱 ABC— A1B1C1 中，底面是邊長為 4cm 的正三角形，側(cè)棱 AA1 與底面兩邊 AB、 AC 均成 600 的角， AA1=7。 （ 1）求證： AA1⊥ BC； （ 2）求斜三棱柱 ABC— A1B1C1的全面積； （ 3）求斜三棱柱 ABC— A1B1C1的體積； （ 4）求 AA1 到側(cè)面 BB1C1C 的距離。 解析 ： 設(shè) A1 在平面 ABC 上的射影為 0。 ∵ ∠ A1AB=∠ A1AC，∴ O 在∠ BAC 的平行線 AM 上。 ∵ △ ABC 為正三角形，∴ AM⊥ BC。 又 AM 為 A1A在平面 ABC 上的射影，∴ A1A⊥ BC （ 2） 3142 374ABAs i nAAABSS11BBAACCAA 1111 ???????? ∵ B1B∥ A1A，∴ B1B⊥ BC，即側(cè)面 BB1C1C 為矩形。 ∴ 2874S CCBB11 ??? 又 34443SS 2A B CCBA 111 ???? ??，∴ S 全 = )cm(33628234282314 2?????? （ 3）∵ cos∠ A1AB=cos∠ A1AO178。 cos∠ OAB，∴ cos∠A1AO=3330c o s 60c o sO A Bc o s ABAc o s 001 ???? ∴ sin∠ A1AO= 36 ，∴ A1O=A1Asin∠ A1AO= 637 ∴ )cm(228637443OASV 321A B C ?????? ? （ 4）把線 A1A到側(cè)面 BB1C1C 的距離轉(zhuǎn)化為點 A 或 A1 到平面 BB1C1C 的距離 為了找到 A1 在側(cè)面 BB1C1C 上的射影，首先要找到側(cè)面 BB1C1C 的垂面 第 8 頁 共 24 頁 設(shè)平面 AA1M 交側(cè)面 BB1C1C 于 MM1 ∵ BC⊥ AM， BC⊥ A1A ∴ BC⊥平面 AA1M1M ∴ 平面 AA1M1M⊥側(cè)面 BCC1B1 在平行四邊形 AA1M1M 中 過 A1 作 A1H⊥ M1M， H 為垂足 則 A1H⊥側(cè)面 BB1C1C ∴ 線段 A1H 長度就是 A1A 到側(cè)面 BB1C1C 的距離 ∴ )cm(223 632AMAs i nMAHMAs i nMAHA 11111111 ??????? 點評：線面距離 往往轉(zhuǎn)化成點面距離來處理，最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得，體積法不用得到垂線。 題型 6：線面夾角 例 6．（ 2020 浙江理， 17） 如圖，在四棱錐 PABCD 中，底面為直角梯形， AD∥ BC,∠ BAD=90176。 ,PA⊥底面 ABCD，且 PA＝ AD=AB=2BC， M、 N 分別為 PC、 PB 的中點。 (Ⅰ )求證： PB⊥ DM。 (Ⅱ )求 CD 與平面 ADMN 所成的角的正弦值。 解析： （ I）因為 N 是 PB 的中點， PA PB? ，所以AN PB? 。 因為 AD? 平面 PAB ，所以 AD PB? ， 從而 PB? 平面 ADMN . 因為 DM? 平面 ADMN ，所以 PB DM? . （ II）取 AD 的中點 G ，連結(jié) BG 、 NG ，則//BG CD ， 所以 BG 與平面 ADMN 所成的角和 CD 與平面ADMN 所成的角相等。 因為 PB? 平面 ADMN ，所以 BGN? 是 BG 與平面ADMN 所成的角。 在 Rt BGN? 中， 10s in 5BNB N G BG? ? ?。 點評：本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。 題型 7：面面距離 例 7．在長方體 ABCD— A1B1C1D1 中， AB=4， BC=3， CC1=2，如圖： （ 1）求證：平面 A1BC1∥平面 ACD1； D 1 C 1B 1A 1D CBA第 9 頁 共 24 頁 （ 2）求 (1)中兩個平行平面間的距離； （ 3）求點 B1 到平面 A1BC1 的距離。 （ 1）證明：由于 BC1∥ AD1，則 BC1∥平面 ACD1， 同理， A1B∥ 平面 ACD1，則平面 A1BC1∥平面 ACD1。 （ 2）解：設(shè)兩平行平面 A1BC1 與 ACD1 間的距離為 d，則 d等于 D1到平面 A1BC1 的距離。易求 A1C1=5， A1B=2 5 ， BC1= 13 ，則 cosA1BC1=652，則 sinA1BC1=6561，則S111 CBA?= 61 。 由 于111111 DCABBCAD VV ?? ?，則 31 S11BCA?178。 d= )21(31111 DCAD?178。 BB1，代入求得 d= 616112 ，即兩平行平面間的距離為 616112 。 （ 3）解：由于線段 B1D1 被平面 A1BC1所平分，則 B D1到平面 A1BC1 的距離相等，則由（ 2）知點 B1 到平面 A1BC1 的距離等于 616112 。 點評： 立體幾何圖形必須借助面的襯托，點、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來。在具體的問題中，證明和計算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過對這個平面的截得，延展或構(gòu)造，綱舉目張，問題就迎刃而解了。 題型 8：面面角 例 8．（ 2020 四川理， 19） 如圖，在長方體1 1 1 1ABCD A B C D? 中， ,EP分別是 11,BC AD 的中點， ,MN 分別是 1,AECD 的 中 點 ，1 ,2A D A A a A B a? ? ?。 （Ⅰ）求證： //MN 面 11ADDA ； （Ⅱ）求二面角 P AE D??的大小。 （Ⅲ）求三棱錐 P DEN? 的體積。 解析：（Ⅰ）證明：取 CD 的中點 K ，連結(jié),MK NK ∵ ,MNK 分別為 1,AK CD CD 的中點， 第 10 頁 共 24 頁 ∵ 1// , //M K AD N K DD，∴ //MK 面 11ADDA ， //NK 面 11ADDA ∴面 //MNK 面 11ADDA ∴ //MN 面 11ADDA （Ⅱ）設(shè) F 為 AD 的中點 ∵ P 為 11AD 的中點 ∴ 1//PF DD ∴ PF? 面 ABCD 作 FH AE? ，交 AE 于 H ，連結(jié) PH ，則由三垂線定理得 AE PH? 。 從而 PHF? 為二面角 P AE D??的平面角。 在 Rt AEF? 中， 17, 2 ,22aA F E F a A E a? ? ?，從而 2 221 7 1 72a aA F E F aFH AEa?? ? ?。 在 Rt PFH? 中， 1 17ta n 2DDPFPFH F H F H? ? ? ?，故二面角 P AE D??的正切值為217 。 （Ⅲ）12 2 211 1 1 542 4 4 4N E P E C D PS S B C C D a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?矩 形 ， 作 1DQ CD? ，交 1CD 于 Q ，由 11AD? 面 11CDDC 得 11AC DQ? ， ∴ DQ? 面 11BCDA ， ∴在 1Rt CDD? 中， 112255C D D D aaD Q