【正文】 垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系 ： 1新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 平行轉(zhuǎn)化 ： 線線平行 ? 線面平行 ? 面面平行； 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 垂直轉(zhuǎn)化 ： 線線 垂直 ? 線面垂直 ? 面面垂直 ； 每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉(zhuǎn)向另一垂直或平行最終達(dá)到目的 。 ⑴求證： HFEG? ，⑵求四邊形 EFGH 的面積。 （ 2）作 AF⊥ BC，垂足為 F。 點(diǎn)評(píng)：直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解決兩條直線的主要途徑之一，另外，三垂線定理及逆定理、兩條直線所成的角等也是證明兩條直線垂直的常用的方法。 ∵正四棱柱 ABCD— A1B1C1D1 的底面是正方形。（ 2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。 （ II）連結(jié) FM。 四．典例解析 題型 1：線線垂直問題 例 1． 如圖 1 所示，已知正方體 ABCD— A1B1C1D1 中， E、 F、 G、 H、 L、 M、 N 分別為 A1D1， A1B1， BC， CD， DA， DE， CL 的中點(diǎn)，求證： EF⊥ GF。 二．命題走向 近年來，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，常常立足于棱柱、棱錐和正方體，復(fù)習(xí)是要以多面體為依托，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn)。 （ 2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)（斜足），然后在直線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。 題型 8：面面角 例 8．（ 2020 四川理， 19） 如圖，在長方體1 1 1 1ABCD A B C D? 中， ,EP分別是 11,BC AD 的中點(diǎn)， ,MN 分別是 1,AECD 的 中 點(diǎn) ，1 ,2A D A A a A B a? ? ?。 因?yàn)?AD? 平面 PAB ，所以 AD PB? ， 從而 PB? 平面 ADMN . 因?yàn)?DM? 平面 ADMN ，所以 PB DM? . （ II）取 AD 的中點(diǎn) G ，連結(jié) BG 、 NG ，則//BG CD ， 所以 BG 與平面 ADMN 所成的角和 CD 與平面ADMN 所成的角相等。 AO178。 sinMBC=21 BC178。 所 成的角 為 ?2 ，則 異面直線 l 與 AB 所成的角 ? 滿足cos cos cos? ? ?? 1 2。C 的距離，連 BD39。得到分別包含 DA39。C39。則 AC∥面 A39。 ]。 預(yù)測 07 年高考試題： （ 1）單獨(dú)求夾角和距離的題目多為選擇題、填空題，分值大約 5 分左右；解答題中的分步設(shè)問中一定有求夾角、距離的問題，分值為 6 分左右； （ 2） 選擇、填空題考核立幾中的計(jì)算型問題 , 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題 , 當(dāng)然 , 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線 a 、 b 所成的角為 ，它們的公垂線 AA′的長度為 d ，在 a 上有線段 A′ E ＝m ， b 上有線段 AF ＝ n ，那么 EF ＝ ?c o s2222 mnnmd ??? （“177。 39?！兔?BB39。? ，可求得 OE? 33 點(diǎn)評(píng)：此題是異面直線的距離問題：可作出異面直線的公垂線。C39。 A 39。 點(diǎn)評(píng)：若不垂直，可經(jīng)過如下幾個(gè)步驟求解：（ 1）恰當(dāng)選點(diǎn)，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)造平面角 ? ；（ 2）證明這個(gè)角 ? （或其補(bǔ)角）就是異面直線所成角；（ 3）解三角形（常用余弦定理），求出所構(gòu)造角 ? 的度數(shù)。 而 AC=2，∴ AO2+CO2=AC2, ∴∠ AOC=90176。 ∴ 2874S CCBB11 ??? 又 34443SS 2A B CCBA 111 ???? ??，∴ S 全 = )cm(33628234282314 2?????? （ 3）∵ cos∠ A1AB=cos∠ A1AO178。 由 于111111 DCABBCAD VV ?? ?，則 31 S11BCA?178。此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過程，推理是運(yùn)算的基礎(chǔ)，運(yùn)算只是推理過程的延續(xù)。即空間距離與角向平面距離與角化歸，各種具體方法如下： （ 1）求空間中兩點(diǎn)間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解 直角三角形或斜三角形。 2．線面垂直 定義： 如果一條直線 l 和一個(gè)平面 α 相交，并且和平面 α內(nèi)的任意一條直線都垂直， 我 們就說直線 l和平面 α 互相垂直奎屯王新敞 新疆其中直線 l 叫做平面的垂線，平面 α 叫做直線 l的垂面 ,直線與平面的 交點(diǎn)叫做垂足 。 （ 2）（ 2020 天津文， 19） 如圖，在五面體 ABCDEF 中，點(diǎn) O 是矩形 ABCD 的對角線的交點(diǎn)，面 CDE 是等邊三角形，棱 12EF BC∥ 。 ∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ， C1D ? 平面 A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥ C1D ，∴ C1D ⊥平面 AA1B1B。 由 BD 21 EC ，且 BD ⊥平面 ABC ，可得四邊形 MNBD 是矩形，于是 DM ⊥MN。 D1H=21 BB12。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查線面關(guān)系、直線于平面所成的角的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力，考查運(yùn)用向量知識(shí)解決 數(shù)學(xué)問題的能力。 于是 B1F2=B1B2+BF2=3，∴ B1F= 3 ，即線段 AB1在平面 B1BCC1內(nèi)的射影長為 3 。 答案： m⊥ α ， n⊥ β ， α ⊥ β ? m⊥ n 或 m⊥ n， m⊥ α ， n⊥ β ? α ⊥ β 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線、線面、面面之間關(guān)系的判定與性質(zhì) .但題型較新穎，主要表現(xiàn)在：題目中以立體幾何知識(shí)為背景，給出了若干材料，要求學(xué)生能將其組裝成具有一定邏輯關(guān)系的整體。 其步驟是：①否定結(jié)論；②進(jìn)行推理；③導(dǎo)出矛盾；④肯定結(jié)論．用反證法證題要注意：①宜用此法否；②命題結(jié)論的反面情況有幾種。 答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等??） 解析：要使命題 B 與命題 A 等價(jià)，則只需保證頂點(diǎn)在底面上的射影 S 是底面正三角形的外心即可，因此，據(jù)射影定理，得側(cè)棱長相等。 BC=1179。 （Ⅱ）可以推測，點(diǎn) Q 應(yīng)當(dāng)是 AICI 的中點(diǎn) O1， 因?yàn)?D1O1⊥ A1C1, 且 D1O1⊥ A1A ，所以 D1O1⊥平面 ACC1A1， 又 AP ? 平面 ACC1A1，故 D1O1⊥ AP。 .171716174 ? 解法二：∵△ D1HB∽△ B1BG，∴GB BDBB HD 1 1111 ? ∴ d=D1H= 171716121 ?GB BB。 又 BA ＝ BC ＝ DF ， ∴ Rt△ DEF ≌ Rt△ ABD ，所以 DE ＝ DA。 （ 1）證明：如圖，∵ ABC— A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝ B1C1 ＝ 1，且∠ A1C1B1 ＝ 90176。 點(diǎn)評(píng)：該題考點(diǎn)多，具有一定深度，但入手不難，逐漸加深，邏輯推理增強(qiáng)。 推理模式： ,PO OPA A a AOa a AP?????? ??? ? ????? ?。作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則 .此外在解答題 中一般不用公式“ cosθ ＝SS?”求二面角否則要適當(dāng)扣分。 （Ⅲ）12 2 211 1 1 542 4 4 4N E P E C D PS S B C C D a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?矩 形 ， 作 1DQ CD? ，交 1CD 于 Q ，由 11AD? 面 11CDDC 得 11AC DQ? ， ∴ DQ? 面 11BCDA ， ∴在 1Rt CDD? 中， 112255C D D D aaD Q aCD a? ?? ? ?， ∴ 13P D E N D E N P N E PV V S D Q? ? ?? ? ?21 5 234 5aa??316a?。 （ 2）解：設(shè)兩平行平面 A1BC1 與 ACD1 間的距離為 d，則 d等于 D1到平面 A1BC1 的距離。 ∵ △ ABC 為正三角形，∴ AM⊥ BC。 ∵ BO=DO,BC=CD, ∴ CO⊥ BD。 由勾股定理，得： DC AB SA SD? ? ? ?17 2 3 5， 。 C 39。D∥ B39。39。于 E 因?yàn)?A39。 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等 。 （ 3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （ 4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離．因此，掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。 （ 2）直線和平面所成的角 求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。D39。 因此 OE 為直線 DA39。C39。 不 難 算 出 BO D O a1 2 33? ?39。 由題意，知 SA? 平面 ABC， ACBC? ，由三垂線定理，知 SCBC? ，所以 BC? 平面 SAC。 點(diǎn)評(píng)：該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略：化空間問題為平面問題來處理。 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 在 Rt BGN? 中， 10s in 5BNB N G BG? ? ?。 （Ⅲ）求三棱錐 P DEN? 的體積。所謂直接法求二面角， 就是作出二面角的平面角來解。 預(yù)測 2020 年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關(guān)系： （ 1