【正文】 第 1 頁 共 24 頁 普通高中課程標準實驗教科書 — 數(shù)學 [人教版 ] 高三新 數(shù)學 第一輪復(fù)習教案（講座 12） — 空間中的夾角和距離 一．課標要求： 1． 掌握兩條直線所成的角和距離的概念 及等角定理； （對于異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離）。 2．掌握點、直線到平面的距離，直線和平面所成的角； 3．掌握平行平面間的距離，會求二面角及其平面角； 二．命題走向 高考立體幾何試題一般共有 4 道 (選擇、填空題 3 道 , 解答題 1 道 ), 共計總分 27分左右 ,考查的知識點在 20 個以內(nèi)。隨著新的課程改革的進一步實施 ,立體幾何考題正朝著“多一 點思考 ,少一點計算”的發(fā)展，從歷年的考題變化看 , 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證，角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題。 預(yù)測 07 年高考試題： （ 1）單獨求夾角和距離的題目多為選擇題、填空題，分值大約 5 分左右；解答題中的分步設(shè)問中一定有求夾角、距離的問題，分值為 6 分左右； （ 2） 選擇、填空題考核立幾中的計算型問題 , 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題 , 當然 , 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。 三．要點精講 1．距離 空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點點距，點線距，點面距，線 線距，線面距，面面距。其中重點是點點距、點線距、點面距以及兩異面直線間的距離．因此，掌握點、線、面之間距離的概念，理解距離的垂直性和最近性，理解距離都指相應(yīng)線段的長度，懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所有這些都是十分重要的。 求距離的重點在點到平面的距離，直線到平面的距離和兩個平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點到平面的距離，一個點到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個點到這個平面的距離。 （ 1）兩條異面直線的距離 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離； 求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么 就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。 （ 2）點到平面的距離 平面外一點 P 在該平面上的射影為 P′，則線段 PP′的長度就是點到平面的距離；求法： ○ 1 “一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。 ○ 2 等體積法。 （ 3）直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （ 4）平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離。 第 2 頁 共 24 頁 求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)化為點點距、點線距或點面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關(guān)距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之。異面直線上兩點間距離公式，如果兩條異面直線 a 、 b 所成的角為 ，它們的公垂線 AA′的長度為 d ，在 a 上有線段 A′ E ＝m ， b 上有線段 AF ＝ n ，那么 EF ＝ ?c o s2222 mnnmd ??? （“177?！狈栍蓪嶋H情況選定） 2．夾角 空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要 理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為 ( 0176。， 90176。 ] 、 [0176。， 90176。 ]和 [0176。， 180176。 ]。 （ 1）兩條異面直線所成的角 求法： ○ 1 先通過其中一條直線或者兩條直線的平移，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形去求得； ○ 2 通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是 ]2,0( ? ，向量所成的角范 圍是 ],0[ ? ，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。 （ 2）直線和平面所成的角 求法：“一找二證三求”，三步都必須要清楚地寫出來。 除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。 （ 3） 二面角的度量是通過其平面角來實現(xiàn)的 解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有：（Ⅰ）定義法；（Ⅱ）利用三垂線定理或逆定理；（Ⅲ）自空間一點作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角，俗稱垂面法．此外 ，當作二面角的平面角有困難時，可用射影面積法解之， cos ＝ SS? ，其中 S 為斜面面積， S′為射影面積， 為斜面與射影面所成的二面角。 3． 等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等 。 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等 。 四．典例解析 題型 1：直線間的距離問題 第 3 頁 共 24 頁 例 1．已知正方體 ABCD A B C D? 39。 39。 39。 39。的棱長為 1，求直線 DA39。與 AC 的距離。 解法 1：如圖 1 連結(jié) A39。C39。，則 AC∥面 A39。C39。D39。， 連結(jié) DA39。、 DC39。、 DO39。，過 O 作 OE⊥ DO39。于 E 因為 A39。C39?！兔?BB39。D39。D，所以 A39。C39?！?OE。 又 O39。D⊥ OE，所以 OE⊥面 A39。C39。D。 因此 OE 為直線 DA39。與 AC 的距離。 在 Rt△ OO39。D 中， OE O D OD OO178。 178。39。 39。? ，可求得 OE? 33 點評：此題是異面直線的距離問題：可作出異面直線的公垂線。 解法 2：如圖 2連接 A39。C39。、 DC39。、 B39。C、 AB39。A39。，得到分別包含 DA39。和 AC 的兩個平面 A39。C39。D和平面 AB39。C， 又因為 A39。C39?！?AC， A39。D∥ B39。C，所以面 A39。C39。D∥面 AB39。C。 故 DA39。與 AC 的距離就是平面 A39。C39。D 和平面AB39。C 的距離，連 BD39。分別交兩平面于 O O1 2， 兩點，易證 OO1 2 是兩平行平面距離。 不 難 算 出 BO D O a1 2 33? ?39。，所以O(shè)O a1 2 33? ，所以異面直線 BD 與 BC1 之間的距離為 33a 。 點評：若考慮到異面直線的公垂線不易做出，可分別過兩異面直線作兩平面互相平行，則異面直線的距離就是兩平面的距離。 題型 2：線線夾角 例 2．如圖 1，在三棱錐 S— ABC 中， ? ? ? ? ? ? ?SAB SAC AC B 90， AC2 ，BC? 13 ， SB? 29 ，求異面直線 SC 與AB 所成角的余弦值。 B C A D B 39。 C 39。 O 39。 A 39。 D 39。 圖 1 E O C B D A C 39。 O 2 B 39。 D 39。 A 39。 O 1 圖 2 第 4 頁 共 24 頁 SACB 圖 1 解法 1：用公式 當直線 AB? 平面 ??A ， AB 與 ? 所成的角為 ?1 ， l 是 ? 內(nèi)的一條直線， l 與 AB在 ? 內(nèi) 的射影 AB39。 所 成的角 為 ?2 ，則 異面直線 l 與 AB 所成的角 ? 滿足cos cos cos? ? ?? 1 2。以此為據(jù)求解。 由題意，知 SA? 平面 ABC， ACBC? ，由三垂線定理，知 SCBC? ，所以 BC? 平面 SAC。 因為 AC BC SB? ? ?2 13 29， ，由勾股定理，得 AB SA SC? ? ?17 2 3 4， 。 在 RtSAC? 中， c o s? ? ?S C AACSC 12，在 RtACB? 中，c o s? ? ?C A BACAB 217。 設(shè) SC 與 AB 所成角為 ? ，則， cos cos cos? ? ? ? ? ?S C A C A B 1717 解法 2：平移 過點 C 作 CD//BA，過點 A作 BC 的平行線交 CD 于 D，連結(jié) SD，則 ?SCD 是異面直線 SC 與 AB 所成的角，如圖 2。又四邊形 ABCD 是平行四邊形。 由勾股定理，得： DC AB SA SD? ? ? ?17 2 3 5， 。 第 5 頁 共 24 頁 SABCD 圖 2 在 ?SCD 中，由余弦定理，得： c o s ? ? ? ?? ? ?S C D SC DC SDSC DC2 2 22 1717。 點評：若不垂直，可經(jīng)過如下幾個步驟求解：（ 1）恰當選點，作兩條異面直線的平行線，構(gòu)造平面角 ? ；（ 2）證明這個角 ? （或其補角）就是異面直線所成角；（ 3）解三角形（常用余弦定理），求出所構(gòu)造角 ? 的度數(shù)。 題型 3：點線距離 例 3．（ 2020 京皖春， 15）正方形 ABCD 的邊長是 2， E、 F分別是 AB 和 CD 的中點，將正方形沿 EF 折成直二面角（如圖所示） .M 為矩形 AEFD 內(nèi)一點，如果∠ MBE=∠ MBC， MB和平面 BCF 所成角的正切值為 21 ，那么點 M 到直線 EF 的距離為 。 解析：過 M 作 MO⊥ EF，交 EF 于 O，則 MO⊥平面 BCFE. 如圖所示，作 ON⊥ BC，設(shè) OM=x， 又 tanMBO=21 ，∴ BO=2x 又 S△ MBE=21 BE178。 MB178。