【導(dǎo)讀】此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念；3．通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；5．學(xué)會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。歷年的高考中都占據(jù)相當(dāng)大的比例。較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結(jié)合起來命題的可能性依然很大。1．題型是1個選擇和一個填空；其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)。函數(shù)符號“y=f”中的f表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x。為零，偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對數(shù)函數(shù)的真數(shù)為正數(shù)，等等）；是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹?。的解析表達(dá)式，簡稱解析式；

　　

【正文】 數(shù)，且 f(2)=0，解不等式 f［ log2(x2+5x+4)］≥ 0。 解 ： ∵ f(2)=0,∴原不等式可化為 f［ log2(x2+5x+4)］≥ f(2)。 又∵ f(x)為偶函數(shù)，且 f(x)在 (0， +∞ )上為增函數(shù)， ∴ f(x)在 (－∞ ,0)上為減函數(shù)且 f(－ 2)=f(2)=0。 ∴不等式可化為 log2(x2+5x+4)≥ 2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤－ 2 ② 由①得 x2+5x+4≥ 4，∴ x≤－ 5 或 x≥ 0 ③ 由②得 0＜ x2+5x+4≤41得 2 105??≤ x＜－ 4 或－ 1＜ x≤2 105?? ④ 由③④得原不等式 的解集為 第 24 頁 共 29 頁 {x|x≤－ 5 或2 105??≤ x≤－ 4 或－ 1＜ x≤2 105??或 x≥ 0} 。 例 10． 已知奇函數(shù) f(x)的定義域為 R，且 f(x)在［ 0， +∞］上是增函數(shù)，是否存在實數(shù) m，使 f(cos2θ － 3)+f(4m－ 2mcosθ )f(0)對所有 θ ∈［ 0,2?］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù) m 的范圍，若不存在，說明理由。 解：∵ f(x)是 R 上的奇函數(shù)， 且在［ 0， +∞］上是增函數(shù)， ∴ f(x)是 R 上的增函數(shù)，于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為 f(cos2θ － 3)f(2mcosθ － 4m)， 即 cos2θ － 32mcosθ － 4m,即 cos2θ － mcosθ +2m－ 20。 設(shè) t=cosθ ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t) =t2－ mt+2m－ 2=(t－2m)2－42m+2m－ 2 在［ 0， 1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t)在［ 0， 1］上的最小值為正。 ∴當(dāng)2m0,即 m0 時， g(0)=2m－ 20? m1 與 m0 不符； 當(dāng) 0≤2m≤ 1 時，即 0≤ m≤ 2 時， g(m)=－42m+2m－ 20? 4－ 2 2 m4+2 2 ， ∴ 4－ 2 2 m≤ 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 當(dāng)2m1,即 m2 時， g(1)=m－ 10? m1。 ∴ m2 綜上，符合題目要求的 m 的值存在，其取值范圍是 m4－ 2 2 。 另法 (僅限當(dāng) m 能夠解出的情況 )： cos2θ － mcosθ +2m－ 20 對于 θ ∈［ 0,2?］恒成立，等價于 m(2－ cos2θ )/(2－ cosθ ) 對于 θ ∈［ 0,2?］恒成立 ∵當(dāng) θ ∈［ 0,2?］時， (2－ cos2θ )/(2－ cosθ ) ≤ 4－ 2 2 ，∴ m4－ 2 2 。 點評：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題。 題型六：最值問題 例 11． （ 20xx 全國理， 21）設(shè) a 為實數(shù)，函數(shù) f（ x） =x2+|x－ a|+1， x∈ R。 （ 1）討論 f（ x）的奇偶性；（ 2） 求 f（ x）的最小值。 解：（ 1）當(dāng) a=0 時，函數(shù) f（－ x） =（－ x） 2+|－ x|+1=f（ x），此時 f（ x）為偶函數(shù)。 當(dāng) a≠ 0 時， f（ a） =a2+1， f（－ a） =a2+2|a|+1， f（－ a）≠ f（ a）， f（－ a）≠－ f（ a）。 此時函數(shù) f（ x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。 第 25 頁 共 29 頁 （ 2）①當(dāng) x≤ a 時，函數(shù) f（ x） =x2－ x+a+1=（ x－ 21 ） 2+a+43 。 若 a≤ 21 ，則函數(shù) f（ x）在 （－∞， a）上單調(diào)遞減，從而，函數(shù) f（ x）在（－∞， a）上的最小值為 f（ a） =a2+1。 若 a＞ 21 ，則函數(shù) f（ x）在（－∞， a] 上的最小值為 f（ 21 ） =43 +a，且 f（ 21 ）≤ f（ a）。 ②當(dāng) x≥ a 時，函數(shù) f（ x） =x2+x－ a+1=（ x+21 ） 2－ a+43 。 若 a≤－ 21 ，則函數(shù) f（ x）在［ a， +∞ ) 上的最小值為 f（－ 21 ） =43 － a，且 f（－ 21 ）≤ f（ a）。 若 a＞－ 21 ，則函數(shù) f（ x）在［ a， +∞］上單調(diào)遞增，從而，函數(shù) f（ x）在［ a， +∞］上的最小值為 f（ a） =a2+1。 綜上，當(dāng) a≤－ 21 時，函數(shù) f（ x）的最小值是 43 － a。 當(dāng)－ 21 ＜ a≤ 21 時，函數(shù) f（ x）的最小值是 a2+1。 當(dāng) a＞ 21 時，函數(shù) f（ x）的最小值是 a+43 。 點評：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問題，如果平時注意知識的積累，對解此題會 有較大幫助 .因為 x∈ R， f（ 0） =|a|+1≠ 0，由此排除 f（ x）是奇函數(shù)的可能性 .運用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng) a=0 時， f（ x）是偶函數(shù)，第 2 題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對稱思想。 例 12． 設(shè) m 是實數(shù)，記 M={m|m1}， f(x)=log3(x2－ 4mx+4m2+m+11?m)。 (1)證明：當(dāng) m∈ M 時， f(x)對所有實數(shù)都有意義；反之，若 f(x)對所有實數(shù) x 都有意義，則 m∈ M； 第 26 頁 共 29 頁 (2)當(dāng) m∈ M 時，求函數(shù) f(x)的最小值； (3)求證：對每個 m∈ M,函數(shù) f(x)的 最小值都不小于 1。 (1)證明：先將 f(x)變形： f(x)=log3［ (x－ 2m)2+m+11?m］ , 當(dāng) m∈ M 時， m1,∴ (x－ m)2+m+11?m0 恒成立， 故 f(x)的定義域為 R。 反之，若 f(x)對所有實數(shù) x 都有意義，則只須 x2－ 4mx+4m2+m+11?m0。 令 Δ ＜ 0，即 16m2－ 4(4m2+m+11?m)＜ 0，解得 m1，故 m∈ M。 (2)解析：設(shè) u=x2－ 4mx+4m2+m+11?m， ∵ y=log3u 是增函數(shù)， ∴當(dāng) u 最小時， f(x)最小。 而 u=(x－ 2m)2+m+11?m， 顯然，當(dāng) x=m 時， u 取最小值為 m+11?m， 此時 f(2m)=log3(m+11?m)為最小值。 (3)證明：當(dāng) m∈ M 時， m+11?m=(m－ 1)+ 11?m+1≥ 3， 當(dāng)且僅當(dāng) m=2 時等號成立。 ∴ log3(m+11?m)≥ log33=1。 點評：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結(jié)合對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行處理。 題型七：周期問題 例 13． 若 y=f(2x)的圖像關(guān)于直線2ax?和 )(2 abbx ??對稱，則 f(x)的一個周期為（ ） A．2ba? B． )(2 ab? C．2ab? D． )(4 ab? 解：因為 y=f(2x)關(guān)于2ax?對稱，所以 f(a+2x)=f(a－ 2x)。 所以 f(2a－ 2x)=f[a+(a－ 2x)]=f[a－ (a－ 2x)]=f(2x)。 第 27 頁 共 29 頁 同理， f(b+2x) =f(b－ 2x)， 所以 f(2b－ 2x)=f(2x)， 所以 f(2b－ 2a+2x)=f[2b－ (2a－ 2x)]=f(2a－ 2x)=f(2x)。 所以 f(2x)的一個周期為 2b－ 2a， 故知 f(x)的一個周期為 4(b－ a)。 選項為 D。 點評： 考察函數(shù)的對稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù) y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a 和 x=b 對稱（ a≠ b），則這個函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為 2（ b－ a）。 例 14 ． 已知函數(shù) ()y f x? 是定義在 R 上的周期函數(shù)，周期 5T? ，函數(shù)( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數(shù)新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/又知 ()y f x? 在 [0,1] 上是一次函數(shù)，在 [1,4] 上是二次函數(shù)，且在 2x? 時函數(shù)取得最小值 5? 。 ① 證明： (1) (4) 0ff??； ② 求 ( ), [1, 4]y f x x??的解析式； ③ 求 ()y f x? 在 [4,9] 上的解析式 。 解： ∵ ()fx是以 5 為周期的周期函數(shù)， ∴ ( 4) ( 4 5 ) ( 1)f f f? ? ? ?， 又∵ ( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數(shù) ， ∴ (1) ( 1) ( 4)f f f? ? ? ? ?， ∴ (1) (4) 0ff??。 ② 當(dāng) [1,4]x? 時，由題意可設(shè) 2( ) ( 2) 5 ( 0)f x a x a? ? ? ?， 由 (1) (4) 0ff??得 22(1 2 ) 5 ( 4 2 ) 5 0aa? ? ? ? ? ?， ∴ 2a? ， ∴ 2( ) 2 ( 2 ) 5 (1 4 )f x x x? ? ? ? ?。 ③∵ ( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數(shù)， 第 28 頁 共 29 頁 ∴ (0) 0f ? ， 又知 ()y f x? 在 [0,1] 上是一次函數(shù)， ∴ 可設(shè) ( ) (0 1)f x kx x? ? ?，而 2(1) 2 (1 2 ) 5 3f ? ? ? ? ?， ∴ 3k?? ， ∴ 當(dāng) 01x??時， ( ) 3f x x?? ， 從而當(dāng) 10x? ? ? 時， ( ) ( ) 3f x f x x? ? ? ? ?，故 11x? ? 時， ( ) 3f x x?? 。 ∴ 當(dāng) 46x??時，有 1 5 1x? ? ? ? ， ∴ ( ) ( 5 ) 3 ( 5 ) 3 15f x f x x x? ? ? ? ? ? ? ?。 當(dāng) 69x??時， 1 5 4x? ? ? ， ∴ 22( ) ( 5 ) 2 [ ( 5 ) 2 ] 5 2 ( 7 ) 5f x f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴23 1 5 , 4 6() 2 ( 7 ) 5 , 6 9xxfx ? ? ? ??? ? ? ? ? ??。 點評：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。 五．思維總結(jié) 1． 判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價形式： f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0； 2． 對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在 f(x)=f(x)和 f(x)=f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(x)=f(x)， f(x)=f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件 。 稍加推廣，可得函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a 對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意 x，都有 f(x+a)=f(ax)成立新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對 稱性的反映 ； 3． 若奇函數(shù)的定義域包含 0，則 f(0)=0，因此，“ f(x)為奇函數(shù)”是 f(0)=0的非充分非必要條件； 4． 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性 。 5． 若存在常數(shù) T，使得 f(x+T)=f(x)對 f(x)定義域內(nèi)任意 x 恒成立，則稱 T 為函數(shù) f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/周期函數(shù)的定義域一定是無限集 。 6． 單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要 的內(nèi)容，應(yīng)用十分廣泛，由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般需要用單調(diào)性定義解決。第 29 頁 共 29 頁 注意，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識一般用于簡單問題的分析，嚴(yán)格的解答還是應(yīng)該運用定義或求導(dǎo)解決。