希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性-展示頁(yè)
2024-09-01 12:32本頁(yè)面
【正文】 ace, then MM??? when also only when has X sub spaceW , causes MW?? . (2)ifX is the inner product space, M is X center finiteDimensional the sub space, then MM??? establishment。 Is perpendicular to makes up。 Closedset. 0 問(wèn)題的提出 2 在文獻(xiàn) [1]中提出了如下問(wèn)題：“ Let X be a space, M is a subset of X ,then ?M is a closed the ?M is closed,every vector z in X can be deposed into z x y?? ,where X is in ?M .If M is also a subspace， can we conclude that My? ? why?” 在文獻(xiàn) [2]中 ,只證明了 M 是 Hilbert 空間 X 的閉子空間時(shí) ,有 ??? MMX 及 ???MM 成立．本文將討論當(dāng) M 是內(nèi)積空間 X 的子空 間時(shí) , ??? MMX 及???MM 在哪些條件下成立 ,并給出證明 。用 x 表示 x 的范數(shù) (由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)? ?2,6,9 即 ( , )x x x? )。 ? ?( , ) 0M x X x M? ? ? ?為 M 的直交補(bǔ) 。 )mi i i iis p a n M y y x x M i m m N?????? ? ? ? ? ? ??????為 M的線性包 。 spanM 是線性包的閉包 。 ()MM?? ? ?? , ()MM??? ?? ?? 。若內(nèi)積空間 X 是復(fù)的內(nèi)積空間時(shí) ,? 是復(fù)數(shù)域 C 。 ? ?,Cab 是閉區(qū)間 ? ?,ab 上全體連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的線性空間 。 dim( )M 為子空間 M 的維數(shù) 。本文在文獻(xiàn) [4]和 [5]的啟發(fā)下 ,討論了當(dāng) M 是內(nèi)積空間 X 的子空間時(shí) , M 的 3 直交補(bǔ)與正交補(bǔ)的關(guān)系 . 1 引理及證明 引理 1??2 （ Schwarz 不等式）設(shè) X 按內(nèi)積 (, )xy 成為內(nèi)積空間 ,則對(duì) ,x y X??， 成立不等式 ( , )x y x y?? 當(dāng)且僅當(dāng) x 與 y 線性相關(guān)時(shí) ,不等式取 “? ”． 引理 2 設(shè) X 為內(nèi)積空間 ,對(duì) ? ? ? ?,nnx y X??,若 lim , limnnnnx x y y? ? ? ???,則 lim ( , ) ( , )nnn x y x y?? ? ． 證明 limnn xx?? ?, limnn yy?? ??對(duì) 0??? , 1 0N??,使得 1nN?? ,有 nxx? 2?? , 2 0N??,使得 2nN?? ,有 2nyy???．于是 , 12max( , )N N N?? , 當(dāng) nN?? 時(shí) , 有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n n nx y x y x y x y x y x y? ? ? ? ? ( ) ( , ) ( , ) ( , )n n n nx y x y x y x y? ? ? ?, ( ) ( )n n nx y y x x y? ? ? ?,（由引理 1） n n nx y y x x y? ? ? ? ? ?, 又 nN? 時(shí) ,有 2nxx??? , 2nnx x x x x ?? ? ? ? ? ?,?當(dāng) nN? 時(shí) , nx 有界 , 令 2x ??L= ,My? ,則 ( , ) ( , ) ( )2 2 2n n n n n LMx y x y x y y x x y L M?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, lim ( , ) ( , )nnn x y x y????. 注 1 引理 2 說(shuō)明 :若將 (,) 看作一個(gè)二元函數(shù) ,則此二元函數(shù)是連續(xù)的 ,即極限符號(hào)與內(nèi)積符號(hào)可以交換位置 : lim ( , ) ( lim , lim )n n n nn n nx y x y? ? ? ? ? ??. 引理 3 設(shè) X 為內(nèi)積空間 ,M 是 X 的子集 ,則 ?M 是 X 中的閉子空間 . 證明 先證 ?M 是 X 中的子空間：對(duì) ,x y M??? , ,??? ?? ,則 zM?? ,有 4 ( , ) ( , ) 0x z y z??, ( , ) ( , ) ( , ) 0x y z x z y z? ? ? ?? ? ? ? ?, x y M?? ?? ? ? . 再證 ?M 是閉子空間：對(duì) ? 收斂點(diǎn)列 ? ?nxM?? 且 nxx? ()n?? ,有 : nN?? , zM?? ,( , ) 0nxz? ,?由引理 2,有 ( , ) ( l im , ) l im ( , ) 0nnnnx z x z x z? ? ? ?? ? ?, xM??? , M?? 是閉子空間 . 引理 4 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 的非空子集 ,則 MM??? 成立 . 證明 對(duì) xM?? , yM??? ,( , ) 0xy? , ? ?x M M?? ??? ? ?, MM???? . 引理 5 設(shè) A ,B 是內(nèi)積空間 X 中的非空子集且 AB? ,則 BA??? . 證明 對(duì) yB??? , x A B? ? ? ,有 ( , ) 0xy? , yA??? , BA????. 引理 6??2 (投影定理 ) 設(shè) M 是 Hilbert 空間 X 中的閉子空間 ,則 X M M??? 成立 . 引理 7??2 設(shè) M 是 Hilbert 空間 X 中的閉子空間 ,則 MM??? 成立 . 引理 8 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 的線性子空間 ,則 ? ?0MM???. 證明 M 為線性子空間 , 0 M?? , 又 xM?? ,(0, ) 0x ? , 0 M??? , 0 MM?? ? ? , MM ??? ? ? , 對(duì) x M M?? ? ? ,有 xM? 且 xM?? , ( , ) 0xx??, 0x??, ? ?0MM?? ? ? . 引理 9 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 的非空子集且 X M M??? ,則 MM??? 成立 . 證明 由 引理 4 知 MM??? ,下證 MM??? : 對(duì) MX??? ? ?x ,由于 X M M??? y M M ???? ? ? , zM??? 有 x y z??, 由引理 3 有 MM?? ? ?=( ) 是 X 中的閉子空間 , z x y M z M M? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 應(yīng)用引理 8 有 ? ?00M M z? ??? ? ? ? , x y M? ? ? , M M M M?? ??? ? ? ?. 引理
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