希爾伯特幾何公理-展示頁
2024-08-20 05:05本頁面
【正文】 一、符號及一些說明有三組不同的對象：點，直線，平面點用A,B,C,D……來表示；直線用a,b,c,d……來表示；平面用α,β,γ,δ……來表示。點稱為直線幾何的元素，點和直線稱為平面幾何的元素，點、直線和平面稱為立體幾何的元素那么點，幾何元素之間又有一定的相互關(guān)系① 點A在直線a上：A∈a② 點A在平面α上：A∈α③ 直線a在平面α上：a?α（直線的每一點都在平面上）④ 點B在點A與點C之間：B∈AC（我自己規(guī)定的符號）⑤ 線段AB與CD相等：AB=CD（原書是用≡號的，不過對于我們不常見，所以我用了=號）⑥ ∠AOB與∠COD相等：∠AOB=∠COD等等……（線段，角之類的能在點線面下給出定義，具體在敘述公理的時候再說）在希爾伯特幾何里面，其實點直線和平面是三個未定義的數(shù)學對象，在上面給的最基本的關(guān)系也是沒有定義的，也就是說用什么來代表這些東西都是可以的，正如希爾伯特所說“我們必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’來代替‘點、線、面’”。我這里的關(guān)系符號∈，?，=并不來自于集合論，不要混淆，要再強調(diào)的是他們本身沒有含義，我只是借用過來化簡論述罷了。（其實希爾伯特幾何就是完備化的歐氏幾何）公理I關(guān)聯(lián)公理本組公理有八條，是前面所提的點，直線，平面這三組對象之間建立的一種聯(lián)系：（為了方便論述，以后說二、三……點的，直線或平面是，都是指不同的點，直線或平面）I1：對于兩點A和B，恒有一直線a，使得A,B∈a（存在性）；I2：對于兩點A和B，至多有一直線a，使得A,B∈a（唯一性）；（對于1,2，我們可以說兩點確定一直線）I3：一直線上至少有兩點，至少有三點不在同一直線上；I4：對于不在同一直線的三點A,B和C，恒有一平面α，使得A,B,C∈α；（存在性）對于任一平面α，恒有一點A，使得A∈α；I5：對于不在同一直線的三點A,B和C，至多有一平面α，使得A,B,C∈α；（唯一性）（對于4,5，我們可以說三點確定一平面）I6：若A,B∈a且A,B∈α，則a?α；I7：若兩平面α，β有一個公共點A，則他們至少還有一個公共點B；I8：至少有四點不在同一個平面上。其實我想用形式語言寫出來的，但是實在書上的太難翻譯，而且符號難打，所以放棄了。根據(jù)這個概念，直線上的，平面上的，空間上的點才有順序可言。在A和B之間的點叫做線段AB的點；A點和B點叫做線段AB的端點。接下來定義射線先定義同側(cè)：設(shè)A,A’,O,B是直線a上的四點，而O在A,B之間，但不在A,A’之間，則A和A’稱為在a上點O的同側(cè)，而A,B兩點稱為異側(cè)。比如與上圖關(guān)于點O與B同側(cè)的射線我們記為OB（雖然跟線段的記號一樣，但注意不要混淆）公理III合同公理本組公理包含五條公理，主要說明幾何對象“相等”的關(guān)系。B39。B39。A39。B39。A39。B39。B39。B39。B39?？偠灾鶕?jù)1,2我們才能得到線段相等的“反身性”，“對稱性”，和“傳遞性”，這才說明這是一個等價關(guān)系。如果AB=A‘B39。C39。這條公理還要求線段能夠相加，可以定義AB+BC=AC（其中A,B,C共線）相當于線段一樣，我們也這樣來規(guī)定角相等。O稱為∠AOB的頂點，射線OA，和射線OB稱為∠AOB的邊。根據(jù)定義，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考慮的范圍內(nèi)。O39。相等，記為∠AOB=∠A39。B39。如同線段一樣，下面四條等式的意義是一樣的∠AOB=∠A39。B39。O39。,∠BOA=∠A39。B39。O39。然后先定義三角形：線段AB,BC,CA所構(gòu)成的圖形，記為△ABC。B39。有下列等式AB=A39。,AC=A39。,∠BAC=∠B39。C39。B39。, ∠ACB=∠A39。B39。公理IV平行公理這條公理顯得很蒼白，
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