【正文】 ) 0yy??, 0y??, 0x y z z M? ? ? ? ?, 0MM???, 由上可知 0MM?? . 注 4 由定理 7 可知內(nèi)積空間 X 中的子空間 M 的正交補(bǔ)一定是 M 的直交補(bǔ) ,換句話說 M 的正 交補(bǔ)的條件比直交補(bǔ)的要強(qiáng)一些 。 Hilbert 空間即完備的內(nèi)積空間 [3] 。 Sub space。 )mi i i iis p a n M y y x x M i m m N?????? ? ? ? ? ? ??????為 M的線性包 。 (2) 假設(shè)當(dāng) ()n k k R??時(shí)命題成立 , 即若 ( ) ( ) ( ) 0b b b ka a af x d x x f x d x x f x d x? ? ? ?? ? ?，則 6 ? 互不相同的 1 2 1, , ( , )k ab? ? ? ? ? ，使 1 2 1( ) ( ) ( ) 0kf f f? ? ? ?? ? ?. 當(dāng) 1nk??時(shí) ,由命題條件可知 1 2 1( )( ) ( ) ( )b ka x x x f x d x? ? ? ?? ? ?? 11 11( ) ( 1 ) ( ) 0bbkk kaax f x d x f x d x???? ?? ? ? ? ???, 由假設(shè)可知 :? 互不相同的 1 2 1, , ( , )k ab? ? ? ? ? , 有 1 2 1( ) ( ) ( ) 0kf f f? ? ? ?? ? ?.不妨設(shè) 1 2 1k? ? ? ?? ? ? ，則假設(shè) ( ) 0fx? 在 (, )ab上只有 1k? 個根 1 2 1,k? ? ? ? ，又由于 ? ?( ) ,f x C a b? ，且 ( ) 0ba f x dx??,則 39。設(shè) M 是無限維內(nèi)積空間 X 中的無限維子空間 ,則 由定理 6 可知 M 的正交補(bǔ)和直交補(bǔ) 不一定 等價(jià) ． 下面討論當(dāng) M 是 Hilbert 空間 X 中的閉子空間時(shí) ,M 、 M 、 spanM 、 M?? 、spanM 、 spanM 之間的關(guān)系 . 定理 8 設(shè) M 是 Hilbert 空間 X 中的閉子空間，則有 M M s p a n M M s p a n M s p a n M??? ? ? ? ? 成立 . 證明 M 是 X 中的閉子空間，由引理 10 知 spanM M? spanM? 是 X 中的 閉子空間， spanM spanM??，又由引理 7，知 MM??? ， 因此得到 M sp a n M M sp a n M??? ? ?, M 是 X 中的閉子空間 , MM??, sp anM sp anM??, M M s p a n M M s p a n M s p a n M??? ? ? ? ? ?. 3 結(jié)束語 本文在文獻(xiàn) [2]中的投影定理及其推論的基礎(chǔ)上 ,結(jié)合文獻(xiàn) [4,5]中論述的線性空間中有限維與無限維的差異 ,解決了文獻(xiàn) [1]提出的問題并且得出了一些新的結(jié)論 , 不同于文獻(xiàn) [10], 本文在這些結(jié)論的基礎(chǔ)上 ,討論了內(nèi)積空間 X 的子空間 M 13 的直交補(bǔ)與正交補(bǔ)的關(guān)系 ,使今后對內(nèi)積空間的研究變得更方 便 .相較文獻(xiàn) [4]而言 ,本文又補(bǔ)充了線性空間中有限維與無限維的一個本質(zhì)差異 . [參考文獻(xiàn) ] [1] Kreyszig E. Introductory functional analysis with applications[M]. New York:John Wrley amp。本文在文獻(xiàn) [4]和 [5]的啟發(fā)下 ,討論了當(dāng) M 是內(nèi)積空間 X 的子空間時(shí) , M 的 3 直交補(bǔ)與正交補(bǔ)的關(guān)系 . 1 引理及證明 引理 1??2 （ Schwarz 不等式）設(shè) X 按內(nèi)積 (, )xy 成為內(nèi)積空間 ,則對 ,x y X??， 成立不等式 ( , )x y x y?? 當(dāng)且僅當(dāng) x 與 y 線性相關(guān)時(shí) ,不等式取 “? ”． 引理 2 設(shè) X 為內(nèi)積空間 ,對 ? ? ? ?,nnx y X??,若 lim , limnnnnx x y y? ? ? ???,則 lim ( , ) ( , )nnn x y x y?? ? ． 證明 limnn xx?? ?, limnn yy?? ??對 0??? , 1 0N??,使得 1nN?? ,有 nxx? 2?? , 2 0N??,使得 2nN?? ,有 2nyy???．于是 , 12max( , )N N N?? , 當(dāng) nN?? 時(shí) , 有 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n n n n nx y x y x y x y x y x y? ? ? ? ? ( ) ( , ) ( , ) ( , )n n n nx y x y x y x y? ? ? ?, ( ) ( )n n nx y y x x y? ? ? ?,（由引理 1） n n nx y y x x y? ? ? ? ? ?, 又 nN? 時(shí) ,有 2nxx??? , 2nnx x x x x ?? ? ? ? ? ?,?當(dāng) nN? 時(shí) , nx 有界 , 令 2x ??L= ,My? ,則 ( , ) ( , ) ( )2 2 2n n n n n LMx y x y x y y x x y L M?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, lim ( , ) ( , )nnn x y x y????. 注 1 引理 2 說明 :若將 (,) 看作一個二元函數(shù) ,則此二元函數(shù)是連續(xù)的 ,即極限符號與內(nèi)積符號可以交換位置 : lim ( , ) ( lim , lim )n n n nn n nx y x y? ? ? ? ? ??. 引理 3 設(shè) X 為內(nèi)積空間 ,M 是 X 的子集 ,則 ?M 是 X 中的閉子空間 . 證明 先證 ?M 是 X 中的子空間：對 ,x y M??? , ,??? ?? ,則 zM?? ,有 4 ( , ) ( , ) 0x z y z??, ( , ) ( , ) ( , ) 0x y z x z y z? ? ? ?? ? ? ? ?, x y M?? ?? ? ? . 再證 ?M 是閉子空間：對 ? 收斂點(diǎn)列 ? ?nxM?? 且 nxx? ()n?? ,有 : nN?? , zM?? ,( , ) 0nxz? ,?由引理 2,有 ( , ) ( l im , ) l im ( , ) 0nnnnx z x z x z? ? ? ?? ? ?, xM??? , M?? 是閉子空間 . 引理 4 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 的非空子集 ,則 MM??? 成立 . 證明 對 xM?? , yM??? ,( , ) 0xy? , ? ?x M M?? ??? ? ?, MM???? . 引理 5 設(shè) A ,B 是內(nèi)積空間 X 中的非空子集且 AB? ,則 BA