希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性-在線瀏覽
2024-10-23 12:32本頁面
【正文】 10 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 的子空間 ,則 spanM M? . 證明 M spanM? 顯然成立 ,下證 spanM M? : 5 對 ,x spanM?? i?? ?? , ixM? ( 1, , )im? ,使1miiixx????, M 是子空間 ,1miiix x M??? ? ?? , spanM M??, spanM M??. 引理 11 設(shè) ? ?( ) ,f x C a b? 且 ( ) ( ) 0bbaaf x dx xf x dx????,則 12, ( , )ab????且12??? ,有 12( ) ( ) 0ff????. 證明 由積分中值定理 1 ( , )ab??? ,使1( ) ( ) ( ) 0ba f x d x f b a?? ? ??, 1 ( , )ab??? ? ,使 1( ) 0f ? ? .假設(shè) ( ) 0fx? 在 (, )ab 內(nèi)只有一個實(shí)根 1x ?? ,則 由于 ? ?( ) ,f x C a b? 且 ( ) 0ba f x dx??,? ()fx在 1(, )a? 與 1( , )b? 上異號 , 不妨設(shè)在 1(, )a? 上 ( ) 0fx? ,在 1( , )b? 上 ( ) 0fx? , 10 ( )( )ba f x x dx?? ? ?? 1 111( ) ( ) ( ) ( ) 0ba f x x dx f x x dx? ???? ? ? ? ???矛盾 , ?假設(shè)不成立 , 2 ( , )ab??? ? 且 21??? ,有 2( ) 0f ? ? . 另證 令 ( ) ( )xaF x f t dt??, ? ?,x ab? ,則 ( ) ( ) 0F a F b??, 39。 11( ) ( ) 0Ff????, 39。 (2) 假設(shè)當(dāng) ()n k k R??時命題成立 , 即若 ( ) ( ) ( ) 0b b b ka a af x d x x f x d x x f x d x? ? ? ?? ? ?，則 6 ? 互不相同的 1 2 1, , ( , )k ab? ? ? ? ? ，使 1 2 1( ) ( ) ( ) 0kf f f? ? ? ?? ? ?. 當(dāng) 1nk??時 ,由命題條件可知 1 2 1( )( ) ( ) ( )b ka x x x f x d x? ? ? ?? ? ?? 11 11( ) ( 1 ) ( ) 0bbkk kaax f x d x f x d x???? ?? ? ? ? ???, 由假設(shè)可知 :? 互不相同的 1 2 1, , ( , )k ab? ? ? ? ? , 有 1 2 1( ) ( ) ( ) 0kf f f? ? ? ?? ? ?.不妨設(shè) 1 2 1k? ? ? ?? ? ? ，則假設(shè) ( ) 0fx? 在 (, )ab上只有 1k? 個根 1 2 1,k? ? ? ? ，又由于 ? ?( ) ,f x C a b? ，且 ( ) 0ba f x dx??,則 39。2 當(dāng) k 為奇數(shù)時，易知： ()fx在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kab? ? ? ? ?? ? ?與 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? 1( , )kk????? 上異號 . 不妨設(shè)在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )k? ? ? ? ?? ? ?上 ( ) 0fx? ,在 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? ? ? 1( , )kk??? 上 ( ) 0fx? .容易證明： 1 2 10 ( )( ) ( ) ( )b ka x x x f x d x? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )ka x x x f x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? 21 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )kx x x f x dx?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0kb kx x x f x d x? ? ? ?? ?? ? ? ? ??矛盾 . ?由 39。2 可知假設(shè)不成立 .? ( ) 0fx? 在 (, )ab 上不只有 1 2 1,k? ? ? ? 這 1k? 個根 , ? 2 ( , )k ab? ??? 且 2k?? 與 1 2 1,k? ? ? ? 都不相同 ,使 2( ) 0kf ? ? ? . 7 ?當(dāng) 1nk??時 ,? 互不相同的 1 2 2, , ( , )k ab? ? ? ? ? ,有 1 2 2( ) ( ) ( ) 0kf f f? ? ? ?? ? ? 由 (1) ,(2) 可知對 nN?? 此命題都成 立 . 2 主要結(jié)論及證明 定理 1 設(shè) M 是內(nèi)積空間 X 中的子空間 ,則 MM???? ? X 的子空W,MW?? . 證明 ? 令 WM?? ,由引理 3 W 是內(nèi)積空間 X 中的閉子空間 ? ?W M M M?? ? ? ?? ? ? ? ? 由引理 4 有 MM??? , 下證 MM??? ， 由引 理 4 有 WW??? ,?由引理 5,有 W?? ? ??（W ） ， 即 W??? ??W , 又 MW?? , MM????, MM????. 推論 設(shè) W 是內(nèi)積空間 X 的非空子集 ,則 WW? ???? 成立 . 證明 由引理 3，知 W? 是內(nèi)積空間 X 中的子空間，令 MW?? ，由定理 1 得 MM??? ，即 ()WW? ? ??? ，亦即 WW? ???? 成立 . 注 也可以直接證明本推論，現(xiàn)證明如下： 對 W 與 W? 應(yīng)用引理 4，得 WW??? 與 ()WW? ? ??? 成立，對 WW??? 再應(yīng)用引理 5，得 )WW?? ? ??( ，故 .WW? ???? 現(xiàn)在我們討論一般內(nèi)積空間 X 中的子空間 M 是否滿足 X M M??? 及 M? M?? ,先對有限維內(nèi)積空間 X 中的子空間 M 進(jìn)行討論 . 定理 2 有限維內(nèi)積空間 X 必為 Hilbert 空間 . 證明 只需證明 X 是完備的 . 設(shè) X 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 12, , , mx x x ()mN? , 則只需證明 ? 柯西點(diǎn)列 ? ?nyX? 有 ??ny 在 X 中收斂 ,可設(shè) ny1 ,min i ini x??? ???= ( 1, , 。 1 , 2 , )n n n r n r iny x x x i r n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?, ? ?ny 是收斂點(diǎn)列必為柯西點(diǎn)列 , 0???? , 0N??, ,pq N??,有 pqyy???, 即1 1 1 ()r r rp q ip i iq i ip iq ii i iy y x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 11( ( ) ,
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