希爾伯特空間中子空間的閉性與補性-免費閱讀
【正文】 并且 :若 M 是內(nèi)積空間 X 中的有限維子空間，則 由定理 5 可知 M 與 M? 滿足正交補定義的條件 (1) 和 (2) ,即此時 M 的直交補 M? 也 是 M 的正交補 。2 當 k 為奇數(shù)時，易知： ()fx在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kab? ? ? ? ?? ? ?與 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? 1( , )kk????? 上異號 . 不妨設在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )k? ? ? ? ?? ? ?上 ( ) 0fx? ,在 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? ? ? 1( , )kk??? 上 ( ) 0fx? .容易證明： 1 2 10 ( )( ) ( ) ( )b ka x x x f x d x? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )ka x x x f x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? 21 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )kx x x f x dx?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0kb kx x x f x d x? ? ? ?? ?? ? ? ? ??矛盾 . ?由 39。 dim( )M 為子空間 M 的維數(shù) 。 spanM 是線性包的閉包 。 Closedset. 0 問題的提出 2 在文獻 [1]中提出了如下問題：“ Let X be a space, M is a subset of X ,then ?M is a closed the ?M is closed,every vector z in X can be deposed into z x y?? ,where X is in ?M .If M is also a subspace， can we conclude that My? ? why?” 在文獻 [2]中 ,只證明了 M 是 Hilbert 空間 X 的閉子空間時 ,有 ??? MMX 及 ???MM 成立．本文將討論當 M 是內(nèi)積空間 X 的子空 間時 , ??? MMX 及???MM 在哪些條件下成立 ,并給出證明 。 Supposes X is the infinite Uygurinner product space, M is X center infinite Uygur sub space, then MM??? not necessarily had been established. KeyWord: Inner product space。 1 , , ( 1 , 2 , , 。若內(nèi)積空間 X 是實的內(nèi)積空間時 ,? 是實數(shù)域 R 。 22( ) ( ) 0Ff????,證畢 . 引理 12 設 ? ?( ) ,f x C a b? 且 ( ) ( ) ( ) 0b b b na a af x d x x f x d x x f x d x? ? ? ?? ? ? ()nR? ,則 ? 互不相同的 1 2 1, , ( , )n ab? ? ? ? ? ,有 1 2 1( ) ( ) ( ) 0nf f f? ? ? ?? ? ?. 證明 用數(shù)學歸納法證明 (1) 當 1n? 時由引理 11 可知命題成立 。 MM???(2) 不一定成立 . 證明 只需舉出反例 : 歐氏空間 []X Rx? 按 ( ( ) , ( ) ) ( ) ( )baf x g x f x g x d x???成為內(nèi)積空間 ,令 ? ?( ) ( 0 ) 0M f x X f? ? ? ?? ?11 1 1 2, , , ,nnn n na x a x a x a a a R n N X??? ? ? ? ?, 則易證 M 是無限維內(nèi)積空間 X 的子空間 ,且 dim ( )rM? ? ??,下求 M?? : 對 ()g x M???有 ()f x M??, ( ( ), ( )) 0f x g x ? ， 11 取 2( ) , , , ,mf x x x x? ,()mN? ,則 2( ) ( ) ( ) 0b b b ma a ax g x d x x g x d x x g x d x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?()mN? , 方法 1 對 11 1 1() nnnnf x a x a x a x M??? ? ? ? ?,有 11( ( ) , ( ) ) ( ) ( )baf x x g x f x x g x d x??? 111( ) ( ) ( )b b bnnnna a aa x x g x d x a x x g x d x a x x g x d x??? ? ? ? ? ? ?? ? ? 1211( ) ( ) ( ) 0b b bnna a aa x g x d x a x g x d x a x g x d x? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?, ()xg x M??? ,又 0 (0) 0g ? , ()xg x M??, ()xg x M M ?? ? ?, 由引理 8,知 ? ?0MM???, ( ) 0xg x??, ( ) 0gx??, ? ?0M???, ? ?0M X M???? ? ? ?, MM????,由引理 9,易證 X M M??? 不成立 . 方法 2 ( ) [ ]g x M R x???,設 11 1 0() kkkkg x b x b x b x b??? ? ? ?()kN? ,則 2( ) ( ) ( ) 0b b b ma a ax g x d x x g x d x x g x d x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?()mN?, 易知 : 1( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 0b b b ka a ax g x d x x x g x d x x x g x d x?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, 由引理 12,可知 ()xgx? 在 (a,b)上可找到 2k? 個互不相同的零點 , ? ()gx在 (a,b)上可找到 1k? 個互不相同的零點 , ()gx的次數(shù)為 k 1k? , ( ) 0gx??, ? ?0M???, MM????, 由引理 9,易證 X M M??? 不成立 . 注 3 由定理 6 可得到本文的主要結論 : 若 X 是內(nèi)積空間 ,M 是 X 中的有限維子空間 ,則 X M M??? 與 MM??? 成 立 。 Sons: Inc. 1978 [2] 程其襄等 .實變函數(shù)與泛函分析基礎 (第二版 )[M].北京：高等教育出版社， 2020. [3] 王萼芳等 .高等代數(shù) (第三版 ) [M]. 北京：高等教育出版社 ,2020,2. [4] 王
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