數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫及推廣汪朋(編輯修改稿)
2025-02-12 15:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 空間上的線性泛函，若，使得,有，則. 證明 由于 ， ，有，取，則有， ， 即 .在三維幾何空間上的線性泛函，其中是中常向量，，它是平面的法向量，而平面就是的子空間，推廣到一般的有限維Euclid空間，便有：定理1 設(shè)是維Euclid空間上的線性泛函，如果，則存在唯一的，使得，有.證明 由于，可設(shè)是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，利用Schimidt正交方法將其擴(kuò)充為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則，有，其中，再由引理3可知定理1結(jié)論成立.其實(shí)，在定理1中，不要條件，結(jié)論也是成立的，即有：定理2 設(shè)是Euclid空間上的線性泛函，且，則存在唯一的，使得，有.證明 設(shè)，1) 當(dāng)時(shí)，這時(shí)取即可；2) 當(dāng)時(shí)，設(shè)是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，利用Schimidt正交方法將其擴(kuò)充為的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基則，有，定理得證.通過定理2，我們知道，對(duì)于有限維的Euclid空間上的線性泛函都能用內(nèi)積來刻畫，而對(duì)于更一般的情形（對(duì)整個(gè)Euclid空間的維數(shù)不加限制），我們先從下面的引理開始探討.引理4 設(shè)是Euclid空間，則由生成的子空間是的閉子空間.證明 當(dāng)?shù)木埸c(diǎn)集時(shí)，結(jié)論顯然成立，下面不妨設(shè)，這時(shí)，否則是孤立點(diǎn)集，從而，矛盾.現(xiàn)設(shè)，則有中的點(diǎn)列，有，則，對(duì)，有 ， （1）由于，故，使得，，將此代入（1）得到， （2）所以根據(jù)Cauchy收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂，設(shè)，則，使得，有，于是，有，即，故，所以是的閉子空間.引理5 是Euclid空間的閉子空間，則.證明 ，有，則，所以，下面只須證即可.，由于是Euclid空間的閉子空間，故根據(jù)引理1和引理2知存在及，使得，由于是線性子空間，因此，從而，即，.經(jīng)過前面的準(zhǔn)備下，我們就可以得到以下定理.定理3 設(shè)是Euclid空間上的線性泛函，則下列條件是等價(jià)的：1）存在唯一的，使得，有；2）或；3）.證明 1）2）若，使得，有，則當(dāng)時(shí)，下設(shè).，有:，從而:，即，所以；反之 ，有:，即，于是.因此.再根據(jù)引理3和引理4知，由于，所以.2）3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)3）顯然成立；當(dāng)時(shí)，則，，故，所以，于是，令，則有，其中因此，而，所以.3）1）若，則令，結(jié)論自然成立.若，且，則，于是可設(shè)，對(duì)任何，令，則， 即 .，由于 ，所以 ，令，則 . 而的唯
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