數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性黃雪梅(編輯修改稿)
2025-02-12 16:57 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 明 為線性子空間, 又,, 對(duì),有且,.引理9 設(shè)是內(nèi)積空間的非空子集且,則成立.證明 由引理4知,下證:對(duì),由于,有,由引理3有 是中的閉子空間,應(yīng)用引理8有 , .引理10 設(shè)是內(nèi)積空間的子空間,則.證明 顯然成立,下證 :對(duì),使,是子空間, ,.引理11 設(shè)且,則且,有.證明 由積分中值定理,使,則由于且,在與上異號(hào),不妨設(shè)在上,在上,矛盾,假設(shè)不成立,且,有.另證 令,則,又,由積分中值定理,使,.對(duì)在和上分別利用羅爾定理, 則,使,證畢.引理12 設(shè)且,則互不相同的,有.證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)由引理11可知命題成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立, 即若，則互不相同的，使.當(dāng)時(shí),由命題條件可知,由假設(shè)可知:互不相同的,，則假設(shè)在上只有個(gè)根，又由于，且,則 當(dāng)為偶數(shù)，易知：在與上異號(hào).不妨設(shè)在上,在：矛盾. 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，易知：在與上異號(hào).不妨設(shè)在上,在： 矛盾.由,且與都不相同,使.當(dāng)時(shí),互不相同的,有由,可知對(duì)此命題都成立.2 主要結(jié)論及證明定理1 設(shè)是內(nèi)積空間中的子空間,則 的子空, .證明 令,由引理3 是內(nèi)積空間中的閉子空間 由引理4有,下證，由引理4有,由引理5,有，即, 又, .推論 設(shè)是內(nèi)積空間的非空子集,則成立.證明 由引理3，知是內(nèi)積空間中的子空間，令，由定理1得，即，亦即成立.注 也可以直接證明本推論，現(xiàn)證明如下：對(duì)與應(yīng)用引理4，得與成立，對(duì)再應(yīng)用引理5，得，故現(xiàn)在我們討論一般內(nèi)積空間中的子空間是否滿足及,先對(duì)有限維內(nèi)積空間中的子空間進(jìn)行討論.定理2 有限維內(nèi)積空間必為Hilbert空間.證明 只需證明是完備的. 設(shè)的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為,則只需證明柯西點(diǎn)列有在中收斂,可設(shè)，是柯西點(diǎn)列, ，有，即,對(duì)每個(gè),有,有 ,對(duì)每個(gè),有是柯西數(shù)列必收斂，不妨設(shè),其中,則令,則顯然成立,下證:由有,對(duì)每個(gè),對(duì)上述,有且,即在中收斂,為完備的內(nèi)積空間即Hilbert空間.定理3 有限維內(nèi)積空間的子空間必為閉子空間.證明 只需證明是閉的,即
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