【文章內(nèi)容簡介】 模型的模糊逼近。Tanaka 等人采用 并行分布補償算法（PDC）設(shè)計控制器，即對每一個線性子系統(tǒng)設(shè)計一個局部的線性狀態(tài)反饋控制器， 可以采用極點配置設(shè)計方法或線性二次型最優(yōu)控制器的設(shè)計方法，模糊控制器的設(shè)計享用模糊模型的前件。 PDC并行分布補償算法對于基于TS模糊模型的控制器的設(shè)計，其基本思想是：將整個狀態(tài)空間分解為多個模糊子空間，并對局部的模糊子系統(tǒng)設(shè)計出相應(yīng)的線性控制器，整個系統(tǒng)的控制則為局部控制的加權(quán)組合。這樣的模糊控制系統(tǒng)相當于將一個非線性系統(tǒng)用分塊線性系統(tǒng)來逼近，由于模糊劃分的光滑過度，因而該模糊系統(tǒng)能夠連續(xù)逼近任意的非線性系統(tǒng)。對于局部系統(tǒng)反饋控制器，可以利用經(jīng)典控制論中的根軌跡、極點配置、線性矩陣不等式(LMI)凸優(yōu)化方法、二次穩(wěn)定和H無窮控制理論等方法進行設(shè)計。模糊控制器的模糊規(guī)則具有與上式相同的模糊規(guī)則前件。這種控制器設(shè)計方法被稱作并行分布補償算法PDC 。模糊控制器的設(shè)計實際是基于并行分布補償算法(PDC)的控制器設(shè)計。通過引入并行分布補償算法我們設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，使得模糊系統(tǒng)在所設(shè)計的控制器下是漸近穩(wěn)定的[13]。PDC控制器控制方法為：選取和模糊系統(tǒng)相同的模糊規(guī)則，設(shè)第條模糊規(guī)則： ()則整個系統(tǒng)的狀態(tài)反饋的全局控制器為： ()在控制規(guī)律()的作用下，整個閉環(huán)系統(tǒng)可表示為： ()則據(jù)此，我們要設(shè)計狀態(tài)反饋控制器使如下模糊閉環(huán)系統(tǒng)：在所設(shè)計的模糊控制器下是大范圍漸近穩(wěn)定的。 第4章 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定條件如果原點平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，而且在時間t趨于無窮大時受擾運動收斂到平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。從實用觀點看，漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定重要。在應(yīng)用中，確定漸近穩(wěn)定性的最大范圍是十分必要的，它能決定受擾運動為漸近穩(wěn)定前提下初始擾動的最大允許范圍[14] [15]。1. Lyapunov穩(wěn)定：如果對于一個系統(tǒng)其響應(yīng)的幅值最終是有界的，則稱這種平衡狀態(tài)為Lypunov穩(wěn)定。2. 漸進穩(wěn)定： 如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，而且當無線增長時，軌線不超過最大幅值，而且最終收斂于，則稱這種平衡狀態(tài)漸進穩(wěn)定。3. 大范圍漸進穩(wěn)定：如果平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，而且從狀態(tài)空間中所有的初始狀態(tài)出發(fā)的軌線都具有漸進穩(wěn)定性，則稱這種平衡狀態(tài)是大范圍漸進穩(wěn)定的。 Lyapunov第一法基本思路是：首先將非線性系統(tǒng)線性化，然后計算線性化方程的特征值，最后根據(jù)線性化方程的特征值判定原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為， ()或?qū)懗? ()將非線性函數(shù)在平衡狀態(tài)處附近展開成Taylor級數(shù)，則有： ()式中為常數(shù)，為一次項系數(shù)，且為所有高次項之和。由于，故線性化方程為 ()其中 ()為Jacobian矩陣。線性化方程(忽略高階小量)，是一種十分重要且廣泛使用的近似分析方法。這是因為，在工程技術(shù)中，很多系統(tǒng)實質(zhì)上都是非線性的，而非線性系統(tǒng)求解十分困難，所以經(jīng)常使用線性化系統(tǒng)近似它。然而這樣做是否正確？我們知道，線性(化)系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)具有根本的區(qū)別，如非線性系統(tǒng)才會出現(xiàn)自振、突變、自組織、混沌等，因此一般說來，關(guān)于線性化系統(tǒng)的解和有關(guān)結(jié)論是不能隨意推廣到原來的非線性的?，F(xiàn)在我們把問題的范圍縮小，只考慮的穩(wěn)定性問題，并提出在什么條件下，可用線性化系統(tǒng)代替原非線性系統(tǒng)？Lyapunov證明了三個定理，給出了明確的結(jié)論。應(yīng)該指出，這些定理為線性化方法奠定了理論基礎(chǔ)，從而具有重要的理論與實際意義。定理1 (Lyapunov) 如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有負實部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)總是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階導數(shù)項無關(guān)。定理2 (Lyapunov) 如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的特征值中，至少有一個具有正實部，則不論高階導數(shù)項的情況如何，原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)總是不穩(wěn)定的。定理3 (Lyapunov) 如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A有實部為零的特征值，而其余特征值實部均為負，則在此臨界情況下，原非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性決定于高階導數(shù)項，即可能不穩(wěn)定，也可能穩(wěn)定。此時不能再用線性化方程來表征原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。上述三個定理也稱為Lyapunov第一近似定理。這些定理為“線性化”提供了重要的理論基礎(chǔ)，即對任意非線性系統(tǒng)，若其線性化系統(tǒng)關(guān)于平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定或不穩(wěn)定，則原非線性系統(tǒng)也有同樣的結(jié)論。但對臨界情況，則必需考慮高階導數(shù)項。 Lyapunov第二法由力學經(jīng)典理論可知，對于一個振動系統(tǒng)，當系統(tǒng)總能量（正定函數(shù)）連續(xù)減小（這意味著總能量對時間的導數(shù)為負定），直到平衡狀態(tài)時為止，則此振動系統(tǒng)是穩(wěn)定的[16] [17]。Lyapunov第二法是建立在更為普遍意義的基礎(chǔ)上的，即如果系統(tǒng)有一個漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則當其運動到平衡狀態(tài)的吸引域內(nèi)時，系統(tǒng)存儲的能量隨著時間的增長而衰減，直到在平穩(wěn)狀態(tài)達到極小值為止。然而對于一些純數(shù)學系統(tǒng)，畢竟還沒有一個定義“能量函數(shù)”的簡便方法。為了克服這個困難，Lyapunov定義了一個虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為Lyapunov函數(shù)。當然，這個函數(shù)無疑比能量更為一般，且其應(yīng)用也更廣泛。實際上，任一純量函數(shù)只要滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理的假設(shè)條件，都可作為Lyapunov函數(shù)（其構(gòu)造可能十分困難）。Lyapunov函數(shù)與和t有關(guān)，我們用或者來表示Lyapunov函數(shù)。如果在Lyapunov函數(shù)中不含t,則用或表示。在Lyapunov第二法中，和其對時間的全導數(shù)的符號特征，提供了判斷平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準則。這種間接方法不必直接求出給定非線性狀態(tài)方程的解。關(guān)于漸近穩(wěn)定性可以證明：如果為維向量，且其純量函數(shù)正定，則滿足 ()的狀態(tài)處于維狀態(tài)空間的封閉超曲面上，且至少處于原點附近，這里C為正常數(shù)。此時，隨著，上述封閉曲面可擴展為整個狀態(tài)空間。如果，則超曲面完全處于超曲面的內(nèi)部。對于給定的系統(tǒng)，若可求得正定的純量函數(shù)，并使其沿軌跡對時間的全導數(shù)總為負定，則隨著時間的增加，將取越來越小的C值。隨著時間的進一步增長，最終變?yōu)榱?，而也趨于零。這意味著，狀態(tài)空間的原點是漸近穩(wěn)定的。Lyapunov主穩(wěn)定性定理就是前述事實的普遍化，它給出了漸近穩(wěn)定的充分條件。定理4 (Lyapunov, 皮爾希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基)考慮如下非線性系統(tǒng) ()式中, 對所有如果存在一個具有連續(xù)一階偏導數(shù)的純量函數(shù)，且滿足以下條件： 正定； 負定則在原點處的平衡狀態(tài)是（一致）漸近穩(wěn)定的。進一步地，若，(徑向無窮大)，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。定理4是Lyapunov第二法的基本定理，下面對這一重要定理作如下幾點說明：(1) 這里僅給出了充分條件，也就是說，如果我們構(gòu)造出了Lyapunov函數(shù)，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但如果我們找不到這樣的Lyapunov函數(shù)，我們并不能給出任何結(jié)論，例如我們不能據(jù)此說該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2) 對于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則Lyapunov函數(shù)必存在。(3) 對于非線性系統(tǒng)，通過構(gòu)造某個具體的Lyapunov函數(shù)，可以證明系統(tǒng)在某個穩(wěn)定域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但這并不意味著穩(wěn)定域外的運動是不穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，如果存在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則它必定是大范圍漸近穩(wěn)定的。(4) 我們這里給出的穩(wěn)定性定理，既適合于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，也適合于定常系統(tǒng)、時變系統(tǒng)，具有極其一般的普遍意義。顯然，定理4仍有一些限制條件，比如必須是負定函數(shù)。如果在上附加一個限制條件，即除了原點以外，沿任一軌跡均不恒等于零，則要求負定的條件可用取負半定的條件來代替。定理 5 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考慮如下非線性系統(tǒng) ()式中, 對所有若存在具有連續(xù)一階偏導數(shù)的純量函數(shù)，且滿足以下條件： ； ；，在時,不恒等于零，這里，表示在時從出發(fā)的軌跡或解則在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。注意，若不是負定的，而只是負半定的，則典型點的軌跡可能與某個特定曲面相切，然而由于對任意和任意，在時不恒等于零，所以典型點就不可能保持在切點處（在這點上，），因而必然要運動到原點。關(guān)于穩(wěn)定性然而，如果存在一個正定的純量函數(shù)，使得始終為零，則系統(tǒng)可以保持在一個極限環(huán)上。在這種情況下，原點處的平衡狀態(tài)稱為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。關(guān)于不穩(wěn)定性如果系統(tǒng)平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的，則存在純量函數(shù)，可用其確定平衡狀態(tài)的不穩(wěn)定性。下面介紹不穩(wěn)定性定理。定理6 (Lyapunov) 考慮如下非線性系統(tǒng) ()式中, 對所有若存在一個純量函數(shù)，具有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且滿足下列條件： 在原點附近的某一鄰域內(nèi)是正定的； 在同樣的鄰域內(nèi)是正定的則原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。Lyapunov方法目前是模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的主流方法。對于TS模型、FBF(模糊集函數(shù))模型、模糊動態(tài)模型等的穩(wěn)定性分析基本上都是采用這種方法。模糊控制多用于控制對象模型不容易得到的情況下，運用Lyapunov方法進行穩(wěn)定性分析時，首先要建立對象的模糊模型，然后基于模糊模型，構(gòu)造控制器結(jié)構(gòu)，選擇Lyapunov函數(shù)，得到穩(wěn)定性條件。這個過程實際上只分析了模糊控制器與模糊模型之間的穩(wěn)定性。由于模糊模型和實際對象存在誤差，由此產(chǎn)生了模糊控制系統(tǒng)的魯棒設(shè)計方法，如模糊H∞。模糊模型設(shè)計等。采用Lyapunov方法設(shè)計也便于找到模糊控制和傳統(tǒng)控制的結(jié)合點，很多模糊控制的設(shè)計思想都是受經(jīng)典控制的設(shè)計思想啟發(fā)的。近年來，LMI的興起，使得許多基于Lyapunov的模糊控制的穩(wěn)定性問題轉(zhuǎn)化為求解LMI的問題，促進了模糊控制器的系統(tǒng)設(shè)計[18]。但是，Lyapunov的穩(wěn)定性條件是一個充分條件，通常比較保守，即當穩(wěn)定性條件不滿足時，控制系統(tǒng)仍可能穩(wěn)定，本文是基于李亞普諾夫定理穩(wěn)定性理論通過討論TS模糊控制系統(tǒng)提出了新的基于狀態(tài)反饋的穩(wěn)定條件。該條件用來設(shè)計模糊控制器和模糊觀測器。為了設(shè)計模糊控制器和模糊觀測器，用TS模糊模型來表示非線性系統(tǒng),并運用平行分布補償觀念。充分條件基于Lyapunov函數(shù)，通過將模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定條件表述為一系列矩陣不等式,比以往文獻中列出的條件具有更小的保守性。對于基于TS建立的模糊閉環(huán)系統(tǒng)（），根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，有如下定理成立。定理7：閉環(huán)系統(tǒng)在所設(shè)計控制器下漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：存在正定對稱矩陣矩陣，滿足下面的矩陣不等式： ， ()證明：選取李亞普諾夫函數(shù) ()沿著系統(tǒng)的解，的微分可表示為： ()由定理7可知： ()根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理可以得出，閉環(huán)系統(tǒng)在所設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器下是漸近穩(wěn)定。定理7給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件，但是可以看出在定理7中，存在著和系統(tǒng)矩陣，,的耦合項，為了求解控制器，須將定理7轉(zhuǎn)換成線性矩陣方程式。下面對定理7進行適當?shù)牟坏仁阶冃危玫娇梢杂镁€性矩陣不等式求解的穩(wěn)定條件。定理 8：如果存在著正定對稱矩陣矩陣和矩陣，使得如下線性矩陣不等式成立： ()則閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且狀態(tài)反饋控制器為： ， ()證明： 由()可知： ； ()則把式() 代入()可得： ()對上式前后同時乘以和可表示為： ()根據(jù)定理7可以知道，閉環(huán)系統(tǒng)在所設(shè)計的模糊控制器下是漸近穩(wěn)定的。上述定理的主要貢獻是以線性矩陣不等式的形式給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定存在的條件，但是不等式中仍然需要求解一個公共的矩陣滿足每個子系統(tǒng)，因此所給條件比較保守。上述定理闡述了求解控制器穩(wěn)定的充分條件，為求解控制器提供了理論依據(jù)，并為運用線性矩陣不等可求得系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器提供了理論支持，推出了系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，并可通過Matlab 軟件運用線性矩陣不等式即LMI工具箱進行求解，最終求得系統(tǒng)穩(wěn)定時可行的控制器。從而實現(xiàn)模糊系統(tǒng)的控制。第5章 仿真實驗 MATLAB及LMI工具箱簡介MATLAB軟件是在1984年由美國Math Works公司推出的一套高效率的數(shù)值計算的可視化軟件，它提供了豐富的數(shù)值分析、矩陣運算、圖形繪制、數(shù)據(jù)處理、圖像處理等功能，并且提供了大量的應(yīng)用于不同學科的工具箱。正因為它是一個開放的環(huán)境，已經(jīng)成為國際控制界廣泛使用的語言之一。國內(nèi)也出版了相應(yīng)的書籍，它主要介紹了模糊控制工具箱的函數(shù)，對用SIMULINK 建立仿真并沒有涉及。 基礎(chǔ)上講述了如何利用 SIMULINK工具箱和FUZZY工具箱構(gòu)造模糊控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖和進行仿真研究的方法和具體步驟。對于常規(guī)的模糊控制器的不足之處，主要從三個方面去改善：1) 模糊控制器參數(shù)（量化因子和比例因子）的自調(diào)整；2) 模糊規(guī)則集的自調(diào)整；3) 模糊控制器與其它控制方式相結(jié)合。此時如果按上述一般方法構(gòu)造系統(tǒng)仿真，SIMULINK 已無能為力。我們通過編寫S函數(shù)，將 MATLAB 和SIMULINK 有機結(jié)合起來，可以實現(xiàn)參數(shù)自調(diào)整的復(fù)雜模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計和高效仿真。 MATLAB軟件簡介MATLAB是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設(shè)計的高科技計算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學研究、工程設(shè)計以及必須進行有效數(shù)值計算的眾多科學領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當今國際科學計算軟件的先進水平[19]。MATLAB的優(yōu)勢有以下幾個方面：(1) 友好的工