淺議不等式的證明數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-09 10:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 xxxfxfxfxf 或者? ? ? ? ? ? ?????? ????? 33 321321 xxxfxffxf． 函數(shù)凹凸性的定義給出了函數(shù)之 間的不等關(guān)系式，利用函數(shù)的凹凸性可以巧證一些函數(shù)不等式，特別是所給的式子為兩項(xiàng)之和，三項(xiàng)之和，并且它們的通項(xiàng)有相似的表達(dá)式時(shí)，可考慮用函數(shù)凹凸性的定義來(lái)證明不等式． 例 已知 ,1, ???? ? cbaRcba 且 求證： 34113113113 ?????? cba 證明：設(shè) xxf ?)( ,則 )(xf 為 ? ???,0 上的凸函數(shù)，由凸函數(shù)的定義知? ? ? ? ? ? ? ? 343 3133 1131131133 113113113 ???????????????? cbacbacba所以 34113113113 ?????? cba . 例 求證： xlnx+ylny(x+y)lnx+y2,(x0,y0,x≠y) 令 f(t)=tlnt(t0), f′(t)=lnt+1, f″(t)=1t0, 故 f(t)=tlnt 在（ x,y）或（ y,x） ,x0,y0 是凹的，于是 12［ f(x)+f(y)］ f(x+ y2) 即 12［ f(x)+f(y)］ x+ y2ln x+ y2 即 xlnx+ylny(x+y)lnx+ y2 類似的如：證明 ex+e y2ex+ y2, (x≠y)。 注： 函數(shù)的凹凸性證明方法首要是找到輔助函數(shù) f(x)，利用函數(shù) f(x)在所給區(qū)間［ a,b］的二階導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的凹凸性。 vii f″(x)0 函數(shù)為凹的 ,則 f(a)+f(b)2f(a+b2)； f″(x)0 函數(shù)為凸的 ,則 f(a)+f(b)2f(a+ b2)。 4 利用拉格朗日中值定理證明不等式 2[1] 若 函數(shù) f 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，則在 ),( ba 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ? ，使得 ? ? ? ? ? ?ab afbff ???? ? ，即 ))(()()( abfafbf ???? ? 拉格朗日中值定理的形式為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?baabfafbf , ????? ??，等式左端為函數(shù))(xf 在區(qū)間端點(diǎn) ba, 的函數(shù)值之差，右端是區(qū)間的長(zhǎng)度 ? ?ab? 乘以 ???f? ，它的意義在于建立了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造函數(shù) )(xf ,可以證明一些不等式． 例 求證： a ababb ab ???? ln ? ?ba??0 . 證明：令 xxf ln)( ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知，存在 ? ?ba,?? ，使得 ))(()()( abfafbf ???? ?，即 ? abab ???lnln ，因?yàn)?ba ??? 所以 a ababb ab ???? ln ，從而原命題得證． 5 利用函數(shù)的最值、極值定理證明不等式 2[1] 設(shè) f 為定義在 D 上的函數(shù)，若存在 ,0 Dx? 對(duì)一切 Dx? 有 ? ? ? ?xfxf ?0 ? ? ? ?? ?xfxf ?0 ，則稱 f 在 D 上有最大（小）值，并稱 ? ?0xf 為 f 在 D 上的最大（?。┲担? 定義 3[1] 若函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 的某領(lǐng)域 ? ?0xU 內(nèi)對(duì)于一切 ? ?0xUx? 有 ? ? ? ?xfxf ?0 viii ? ? ? ?? ?xfxf ?0 ，則稱函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 取得極大（?。┲?，稱點(diǎn) 0x 為極大（?。┲迭c(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值． 定理 3[1] 設(shè) f 在 0x 的 某領(lǐng)域 ? ??,0xU 內(nèi)一階可導(dǎo)，在 0xx? 處二階可導(dǎo)，且? ? ? ? 0,0 00 ????? xfxf ．若 ? ? 00 ??? xf ，則 f 在 0x 取得極大值；
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