【文章內容簡介】 證明：解設p+q＞2，那么p＞2q∴p3＞（2q）3=812q+6q2q3將p3+q3 =2，代入得 6q212q+6＜0即6（q1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞：a＞0，b＞0，c＞08數(shù)學歸納法與自然數(shù)n有關的不等式，通?？紤]用數(shù)學歸納法來證明。用數(shù)學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。例10：設n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+12分析：觀察求證式與n有關，可采用數(shù)學歸納法證明：（1）當n=2時，左= 43，右=52∵43＞52∴不等式成立（2）假設n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k1)＞2k+12 那么當n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k1)(1+12k+1)＞2k+12(1+12k+1)①要證①式左邊＞2k+32，只要證2k+122k+22k+1＞2k+32②對于②〈二〉2k+2＞2k+12k+3〈二〉(2k+2)2＞(2k+1)(2k+3)〈二〉4k2+8k+4＞4k2+8k+3〈二〉4＞3③∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立練習8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞13249構造法根據求證不等式的具體結構所證，通過構造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。1構造函數(shù)法例11：證明不等式：x12x ＜x2（x≠0）證明：設f（x）=x12xx2（x≠0）∵f(x)=x12x+x2x2x2x1+x2=x12x［1(12x)］+x2=x12xx+x2=f（x）∴f（x）的圖像表示y軸對稱∵當x＞0時，12x＜0，故f（x）＜0∴當x＜0時，據圖像的對稱性知f（x）＜0∴當x≠0時，恒有f（x）＜0 即x12x＜x2（x≠0）練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：bb2ab＜a＜b+b2ab2構造圖形法例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）f（b）|＜ |ab|分析：由1+x2 的結構可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(10)2+(x0)2于是如下圖，設A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2|AB|=|ab|又0A||0B＜|AB|∴|f(a)f(b)|＜|ab|練習10：設a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(ac)+c(bc)≤ab10添項法某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項”技巧，能得到快速求解的效果。1倍數(shù)添項若不等式中含有奇數(shù)項的和，可通過對不等式乘以2變成偶數(shù)項的和，然后分組利用已知不等式進行放縮。例13：已知a、b、c∈R+，那么a3+b3+c3≥3abc（當且僅當a=b=c時等號成立）證明：∵a、b、c∈R+∴a3+b3+c3=12 ［(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)］≥12 ［(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)］=12［a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)］≥12(a2bc+b2ca+c2ac)=3abc當且僅當a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。2平方添項運用此法必須注意原不等號的方向例14 ：對于一切大于1的自然數(shù)n，求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1＞ 2n+1 2)證明：∵b ＞ a＞ 0，m＞ 0時ba＞ b+ma+m∵ ［(1+13)(1+15)…(1+12n1)］2=（465…2n2n1)（465…2n2n1)＞（576…2n+12n)（465…2n2n1)=2n+13＞ 2n+14＞∴(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+1 2)3平均值添項例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術平均值添項sin π3證明：先證命題：若x＞0，y＜π，則sinx+siny≤2sin x+y2（當且僅當x=y時等號成立）∵0＜x+y2＜ π，π2＜ xy2＜ π2sinx+siny=2sin x+y2cosxy2∴上式成立反復運用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤22sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號成立的條件添項例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。要證不等式xx+2y+xx+2y≤23，因為x,y是正數(shù)，即證3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 ≤2(2x2+2y2+5xy),即2xy≤x2+y2，而此不等式恒成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恒成立。,y,z∈R+，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz錯因：根據不等式的性質：若a ＞b＞ 0，c ＞d ＞0,則ac bd，但 ac＞bd卻不一定成立 正解：x2y2+y2z2≥ 2x y2z，y2z2+z2x2≥ 2x yz2，x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz(x+y+z)，兩邊同除以x+y+z:x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz 設x+y0，n為偶數(shù)，求證yn1xn+xn1yn≥1x 1y錯證：∵yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnynn為偶數(shù)，∴ xnyn ＞0，又xnyn和xn1yn1同號，∴yn1xn+xn1yn≥ 1x1y錯因：在x+y0的條件下，n為偶數(shù)時，xnyn和xn1yn1不一定同號，應分x、y同號和異號兩種情況討論。正解：應用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當x0,y0時，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當x,y有一個是負值時，不妨設x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時,所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學與應用數(shù)學 專業(yè) 11 級本科生論文（設計）選題實習報告11級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)《科研訓練2》評分表注：綜合評分179。60的為“及格”； 第四篇：不等式的證明方法論文重慶三峽學院畢業(yè)設計（論文）題目：不等式的證明方法院 系 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學（師范類）年 級 2009級 學生姓名 楊家成 學生學號 200906034134 指導教師 向以華完成畢業(yè)設計（論文）時間 2013 年 5 月目 錄摘要................................................................I Abstract...........................................................II 引言................................................................1楊家成：不等式的證明方法2013屆數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)（師范類）畢業(yè)設計（論文）例1 已知a1,a2Lan都是正數(shù)，求證：229。ai229。i=1i=1nn1179。n2． ai證明：構造兩個數(shù)組：a1,a2Lan。2111,La1a2an，由柯西不等式，得2229。(a)nii=1nn2230。1246。230。n1246。231。247。231。247。，即 229。179。229。ai231。247。231。i=1ai247。i=1232。ai248。232。248。n229。(a)nii=12230。1246。230。n246。2247。179。231。229。1247。，229。231。231。247。232。i=1248。i=1232。ai248。n2所以229。a229。aii=1i=11i179。n2． 均值不等式,a2L,an是n個正數(shù)，則Hn163。Gn163。An163。Hn=n111++L+a1a2an，Gn=na1a2Lan，An=a1+a2+L+an，n222a+a2+L+=1n例2 已知0a1,x+y=0，求證：logaax+ay163。loga2+xy2()1． 8證明：由0a1，a0,a0，得，ax+ay179。2axay=2ax+y，從而 logaax+ay163。loga2ax+y=loga2+()()x+y2，故只要證明x+y11163。，即x+y163。即可． 28422111246。11230。x+y=xx=231。x247。+163。，等號在x=（這時y=）時取得，242248。44232。所以logaax+ay163。loga2+()1． 8楊家成：不等式的證明方法 排序不等式 設a1163。a2163。L163。an,b1163。b2163。L163。bn則有a1bn+a2bn1+L+anb（倒序積和）163。a1br1+a2br2+L+anbrn（亂序積和）163。a1b1+a2b2+L+anbn,（順序積和）其中r1,r2,L,rn是1,2,L,n的一個排列，即倒序積和≤亂序積和≤順序積和． 例3 設a1,a2,L,an是n個互不相同的自然數(shù)，證明：1+an111a++L+163。a1+2+L+． 2223n2n證明：設b1,b2,Lbn是a1,a2,L,an的一個排列且b1b2Lbn，11，所以由排序不等式，得，L22n2bnanba2b1+2+L+163。a++L+． 122222n2nbnb11+L+179。1++L+又因為b1179。1,b2179。2,L,bn179。n，故b1+2，22n22nan111a+L+即1+++L+163。a1+2．23n22n2說明：從應用中，可看出在利用重要不等式來證明不等式時必須注意重要不等式所需要的條件，以及有時需要變形等適當處理，分析法、綜合法、反證法、換元法、構造