【正文】 數(shù)，要注意對(duì)x的系數(shù)的兩種情況討論 6 x2+x+1y=22(1y)x+x+1y=0，x+1證明：設(shè)，則2y185。1x206。R,D=14(1y)179。0,得（1）當(dāng)時(shí)，由13163。y163。,(y185。1)2 22(1y)x+x+1y=0，得x=0（2）當(dāng)y=1時(shí)，由x2+x+1y=x2+1的定義域中的一個(gè)值，所以y=（1）而x=0是函數(shù)131x2+x+13163。y163。163。163。2222x+12。和（2）知，即[評(píng)價(jià)] 用判別式法證明不等式，實(shí)際上就是求函數(shù)的最大（最?。?f(y)x+g(y)+j(y)=0,f(y)185。0形式的一類函數(shù)范圍是“解答函數(shù)的解析式可以轉(zhuǎn)化2的最大（小）值或值域問題”，學(xué)習(xí)時(shí)注意對(duì)x項(xiàng)系數(shù)f(y)=0和f(y)185。0兩種情況的討論。 分解法按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易解的基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的.[例8] 求證：11111111+++ 26122030426[分析] 此題不等號(hào)左邊為同分子異分母的7個(gè)分?jǐn)?shù)和，分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是從1開始每相鄰兩個(gè)自然數(shù)乘積，符號(hào)為加減交替，可利用我們學(xué)過的式子使相同式子相消，即可得答案。[證明] 因?yàn)?11=來做，n(n1)nn+1111=n(n1)nn+***1+++++=＜原題得2233445566776 所以 原式=1+證。[評(píng)價(jià)]只要利用學(xué)過的公式來分解式子就更容易了，但這題要注意符號(hào)，符號(hào)容易出錯(cuò)。在不等式證明中，我們常常構(gòu)造函數(shù)f(x)，而f(x)構(gòu)造好后，如果在所給函數(shù)區(qū)間上無法判斷f(x)符號(hào)，即當(dāng)函數(shù)不具有單調(diào)性時(shí)，可以考慮用極值與最值的方法進(jìn)行證明[例9] 設(shè)x206。R，求證：4163。cos2x+3sinx163。[分析] 此題可構(gòu)造成一元二次方程的頂點(diǎn)式進(jìn)行證明。3246。1230。[證明] f(x)=cos2x+3sinx=12sin2x+3sinx=2231。sinx247。+24248。8232。當(dāng)sinx=231時(shí)，f(x)max=2。48當(dāng)sinx=1時(shí)，f(x)min= 4163。cos2x+3sinx163。[評(píng)價(jià)]這題難在于化簡(jiǎn)f(x)來構(gòu)造函數(shù)，用一元二次方程的頂點(diǎn)式求最值較易。當(dāng)x屬于某區(qū)間，有f162。(x)179。0，則f(x)單調(diào)上升；若f162。(x)163。0，則f(x)，若證f(x)163。g(x)，只須證f(a)=g(a)及f162。(x)163。g162。(x),(x206。(a,b))即可.[例10] 證明不等式e1+x,x185。0.[分析] 所求不等式中有e，結(jié)構(gòu)不復(fù)雜，求導(dǎo)數(shù)是它本身，這樣用求導(dǎo)法來做應(yīng)容易?？繉?dǎo)數(shù)求單調(diào)性就可把極值求出，即可證明不等式。[證明]設(shè)f(x)=e1x,則f39。(x)=e1。xxxx故當(dāng)x0時(shí)，f39。(x)0,f嚴(yán)格遞增； 當(dāng)x0時(shí)，f39。(x)0嚴(yán)格遞減。又由于f在x=0處連續(xù)，則當(dāng)x185。0時(shí)f(x)f(0)=0，從而得證。[評(píng)價(jià)]此題目具有冪指數(shù)函數(shù)形式，對(duì)不等式進(jìn)行移項(xiàng)、整理，在此基礎(chǔ)上根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明之。利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，不等式兩邊必須可導(dǎo)，對(duì)所構(gòu)造的輔助函數(shù)f（x）應(yīng)在某閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，然后通過在開區(qū)間f39。(x)的符號(hào)判斷間上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性來解決不等式問題。f（x）在閉區(qū)4小結(jié)不等式的證明方法很多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止以上所述，每一種方法都具有一定的特點(diǎn)和使用性，并有一定的規(guī)律可循，只有在多分析多總結(jié)的基礎(chǔ)上，才能把握問題的實(shí)質(zhì)，熟練運(yùn)用各種證明技巧，提高解決問題的水平。各種證明方法之間也并不是孤立的，有時(shí)一個(gè)不等式也可能有好多種證明方法。我們?cè)谧C明不等式中不必拘泥某種單一的方法，需要因地制宜根據(jù)不同的情況選擇不同的方法來論證，可根據(jù)具體的情況靈活選擇最簡(jiǎn)單、最優(yōu)化的方法，從而達(dá)到最佳的證明效果，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性和實(shí)用性。經(jīng)過這段時(shí)間的畢業(yè)論文設(shè)計(jì)和對(duì)相關(guān)資料的收集，我對(duì)于不等式的證明有了深刻的了解和認(rèn)識(shí)。學(xué)習(xí)了這些方法，可以幫助我們解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽 8 象思維能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。參考文獻(xiàn): ［1］李長(zhǎng)明,[M].北京:高等教育出版社,1995,253263.［2］[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2005,10(3):8991 ［3］張順燕 數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用［M］北京：北京大學(xué)出版社。2003 ［4］(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1999,87.［5］李海港，［M］.學(xué)術(shù)期刊:高中數(shù)理化（高二）GAOZHONG SHULIHUA。2007年第1期。[6][M].北京:中國物質(zhì)出版社,1994,123124.[7][M].《新課程（中學(xué)）》2010年第12期第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯(cuò)法多種多樣，本節(jié)通這一些實(shí)例，歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)?！撸╝3+b3)(a2b+ab2)=a2(ab)b2(ab)=(ab)(a2b2)證明： =(ab)2(a+b)又∵(ab)2≥0a+b≥0∴(ab)2(a+b)≥0即a3+b3≥a2b+ab2例2 設(shè)a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對(duì)稱性，因此可在設(shè)a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商后同“1”比較大小，從而達(dá)到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小證明：由a、b的對(duì)稱性，不妨解a＞b＞0則aabbabba=aabbba=(ab)ab∵ab0，∴ab1，ab0∴(ab)ab(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）（3）若a、b同號(hào)，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí)，等號(hào)成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：cc2ab＜a＜c+c2ab分析：觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式，不易用比較法，又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 ｜ac｜＜c2ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。例6：已知a、b、c、d都是正數(shù)求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2分析：觀察式子特點(diǎn)，若將4個(gè)分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜16換元法換元法是許多實(shí)際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。(1)三角換元：是一種常用的換元方法，在解代數(shù)問題時(shí)，使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成三角問題，充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜1證明： ∵x，y∈R+，且xy=1，x=secθ，y=tanθ，（0＜θ＜xy）∴ A=(secθ1secθ(tanθ+1tanθ1sec2θ=1cos2θcosθs2m2θ+cos2θcosθs2mθcos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問題，往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值，然后代入求證式，即可。例8：已知 x1=y+12=z23，求證：x2+y2+z2≥4314證明：設(shè)x1=y+12=z23=k于是x=k+1，y=zk1，z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2分析：本題已知為p、q的三次，而結(jié)論中只有一次，應(yīng)考慮到用術(shù)立方根，同時(shí)用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。