【文章內(nèi)容簡介】 ity. Considering length and required prerequisites, the elementary proof by induction given below is probably the best remendation for first reading.Idea of the first two proofsWe have to show thatwith equality only when all numbers are equal. Ifxi≠xj, then replacing bothxiandxjby(xi+xj)/2will leave the arithmetic mean on the lefthand side unchanged, but will increase the geometric mean on the righthand side becauseThus righthand side will be largest — so the idea — when allxis are equal to the arithmetic meanthus as this is then the largest value of righthand side of the expression, we haveThis is a valid proof for the casen= 2, but the procedure of taking iteratively pairwise averages may fail to producenequal numbers in the casen≥ 3. An example of this case isx1=x2≠x3: Averaging two different numbers produces two equal numbers, but the third one is still different. Therefore, we never actually get an inequality involving the geometric mean of three equal numbers.Hence, an additional trick or a modified argument is necessary to turn the above idea into a valid proof for the casen≥ 3.Proof by inductionWith the arithmetic meanof the nonnegative real numbersx1, . . . ,xn, the AM–GM statement is equivalent towith equality if and only ifα=xifor alli∈ {1, . . . ,n}.For the following proof we applymathematical inductionand only wellknown rules of arithmetic.Induction basis:Forn= 1the statement is true with equality.Induction hypothesis:Suppose that the AM–GM statement holds for all choices ofnnonnegative real numbers.Induction step:Considern+1nonnegative real numbers. Their arithmetic meanαsatisfies.本科生畢業(yè)論文設(shè)計關(guān)于不等式證明方法的探討作者姓名：曾海輝指導(dǎo)教師：張碩所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)（系）：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)班級（屆）：2014屆數(shù)學(xué)B班二〇一四年 四月 三十日目錄目錄………………………………………………………………………………………………1摘要、關(guān)鍵字……………………………………………………………………………………21 問題提出 ……………………………………………………………………………………3 在現(xiàn)實生活中的意義及前景 ………………………………………………………… 3 在數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)狀和問題 ………………………………………………………… 32 常用證明方法……………………………………………………………………………… 5 比較法 ………………………………………………………………………………… 5 分析綜合法 …………………………………………………………………………… 6 反證法 ………………………………………………………………………………… 7 放縮法 ………………………………………………………………………………… 8 換元法………………………………………………………………………………… 11 數(shù)學(xué)歸納法…………………………………………………………………………… 14 判別式法……………………………………………………………………………… 15 函數(shù)單調(diào)性法………………………………………………………………………… 16 幾何證法… ……………………………………………………………………………17 面積體積法… ……………………………………………………………………… 18 極值法 ……………………………………………………………………………… 193 教學(xué)建議與思考……………………………………………………………………………20 內(nèi)容綜述與建議……………………………………………………………………… 19 問題總結(jié)與思考……………………………………………………………………… 22參考文獻……………………………………………………………………………………… 23Abstract ………………………………………………………………………………………24 關(guān)于不等式證明方法的探討學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)指導(dǎo)教師： 張 碩作 者： 曾海輝摘要：不等式及其證明的內(nèi)容極為豐富，在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)了相當關(guān)鍵的主體地位，它貫穿于高中數(shù)學(xué)的幾乎每一個章節(jié)之中，同時，他又是我們實踐生活應(yīng)用甚為廣泛的一種集理論和技巧于一身的格式化計算性工具。不等式及其證明在實際中的普遍應(yīng)用呈現(xiàn)在廣泛的采購批發(fā)方法，房屋租賃方法，購物娛樂方法等的設(shè)計現(xiàn)象之中。然而，對一些不等式的證明又為我們在生活中利用不等式提供了有力證據(jù)。在這里我們就來探討不等式的一些常用證明方法。在證明不等式過程中，除了等特別常見的原理外，統(tǒng)一的方法沒有很多，但是經(jīng)常會出現(xiàn)同一不等式可有多種證明方法的情形。上年代以來，由于不等式的改進和新型的發(fā)現(xiàn)絡(luò)繹不絕，就促使著科學(xué)家們對更多新的證明方法的研究和發(fā)現(xiàn)。在教學(xué)生活中，不等式及其證明是教師們的重頭戲，是學(xué)生們的老大難，因此在本文中，、函數(shù)單調(diào)性法、幾何證法、面積體積比較法、極值法等常見證明方法，期望能對讀者、。關(guān)鍵詞：1 問題提出不等式及其證明非但是各級數(shù)學(xué)中的重、難、考、熱點，教師們的重頭戲，學(xué)生們的老大難；而且是現(xiàn)實生活中運用最普遍，跨領(lǐng)域性最強的一種集理論、技巧于一身的格式化計算工具，以下就是對他的實際價值、研究現(xiàn)狀和發(fā)展前景的論述。 在現(xiàn)實生活中的意義及前景在日常實踐活動中，不等式及其證明是運用最為廣泛，跨領(lǐng)域性最強的一種集理論、技巧于一身的格式化計算工具，而且，使用不等式來實現(xiàn)任務(wù)完成的情況呈現(xiàn)于社會生產(chǎn)和實踐生活的各方各面，各個層次，例如，經(jīng)常見到采購批發(fā)方案設(shè)計，房屋租賃方案設(shè)，消費娛樂方案設(shè)計等。然而，甚為廣范的不等式使用從何而來呢？不等式的證明為我們在生活中利用不等式提供了有力證據(jù)。在研究不等式各個內(nèi)容（如不等式性質(zhì)、解法和證明方法）的進程中，但在此性質(zhì)和解法就不做探討了，而主要探討了不等式的證明中使用的一些常用方法,如上文中所列。，直接效果是使我們可以掌握數(shù)學(xué)中一些更細致更準確的理論，從發(fā)展數(shù)學(xué)的角度，使我們能站在一個更高層次的數(shù)學(xué)角度對不等式進行研究。但是在上世紀以前，證明不等式的方法中，除個別非常一般的原理（如 ）外，統(tǒng)一的證明方法沒有很多，然而幾種不同的方法或幾種方法用于同一證明過程中來證明不等式的情況出現(xiàn)較多。，大量的新型不等式的發(fā)現(xiàn)和對已知不等式的改進，以及發(fā)現(xiàn)在更多的領(lǐng)域都廣泛都涉及到不等式的應(yīng)用，這讓現(xiàn)有的不等式內(nèi)容及界限難以滿足社會時代和經(jīng)濟的發(fā)展，促使科學(xué)家們不得不開始著眼于研究更多特殊情況下不等式的證明及其方法。因此，上世紀末新世紀初，不等式在形式要求下，得到了突飛猛進的發(fā)展和開拓，打破了原有的局限，在更多領(lǐng)域得到了更加廣泛更加深層的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，為了由特殊到一般，就更加迫切要求我們進一步更加細致周密廣泛普及的總結(jié)更多的更廣泛統(tǒng)一性證法。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)狀和問題。例如，刊物， 其受重視程度可見一斑，一個常見的現(xiàn)象是，當今許多研究成果中， 許多基本重 在另一方面，不等式及其證明非但是各級數(shù)學(xué)中的重、難、考、熱點，教師們的重頭戲，學(xué)生們的老大難，他不僅可以多方面對學(xué)生的綜合能力的鍛煉增強，有效提高學(xué)生敏銳的綜合分析解決問題或完成任務(wù)的水平，與此同時，不等式的證明的內(nèi)容靈活多變，而且可以從多個角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中一個多可多得的好素材。然而，眾所周知，我們教育教學(xué)現(xiàn)在面臨的不等式及其證明的現(xiàn)狀是學(xué)生無法掌握變化多樣的不等式證明方法，遇到問題時，不知如何選用合適的方法，這也是一個很多老師都遇到的一直未成功解決的共性問題。但是，萬千事物萬變不離其宗，遇事抓住其根本，總結(jié)前人和自己的生活學(xué)習(xí)工作經(jīng)驗，舉一反三，必定能夠在數(shù)學(xué)研究中有所突破，獨樹一幟。因此，在不等式及其證明的教學(xué)工作中應(yīng)讓學(xué)生熟悉正確掌握不等式的各種性質(zhì)，并適當不間斷加強和鞏固學(xué)生們對他們在不等式構(gòu)造、解法和證明上的運用。另外，這里給出一點建議它們是最基礎(chǔ)、最根本、最普遍的不等式證明方法，此外，在教學(xué)過程，也需要提供更多類別的難易程度合理的不等式證明方法讓學(xué)生學(xué)習(xí)鉆研。在這樣的形勢下，本文更多的是從一般普遍的情況下進行研究，查閱了各方面關(guān)于不等式的習(xí)題相應(yīng)的解題方法，并對這些習(xí)題和方法進行了細致全面的歸納總結(jié)，還有諸如反證法、體積法等也很常用的證明方法以供參考，希望給讀者們進行進一步總結(jié)提供一些借鑒和幫助。2 常用證明方法萬千事物萬變不離其宗，遇事抓住其根本，總結(jié)前人和自己的生活學(xué)習(xí)工作經(jīng)驗，舉一反三，必定能夠在數(shù)學(xué)研究中有所突破，獨樹一幟。下面我們就一起來討論總結(jié)這些不等式的常用證明方法。 比較法 概述：包括作差和作商。采用比較的方法，轉(zhuǎn)折性的一步是要進行適當?shù)淖冃?，如分解，方式，加法和減法，分裂，定理和公式法，和積化差等。一般情況下比較兩個實數(shù) 的大小時，我們會先將其進行作差，再判斷的正負性，該方法被稱作作差法。其步驟一般是：作差，形變，判斷差值正負，下論斷，當觀察到 同號時,我們一般會將其進行坐商，再比較 的大小，該方法被稱為作商法。：作商，比較法是數(shù)學(xué)上最普遍，最基礎(chǔ)的證明方法。常見類型：（1）單項比較法：也由項目比較法和比較的方法稱為項目，是比較不等式的兩邊的結(jié)構(gòu)特點，每個相同或相似的項目之間的異同點，并根據(jù)相似性和差異性，給予相同的兩側(cè)，剩余項的大小，不僅減小了不等式的長度，而且使剩余的不等式的變形方向更加明了，它主要在不等式的證明中的兩側(cè)結(jié)構(gòu)類似的情況下應(yīng)用。 （2）類型比較法：也簡稱類比法，指的是將不等式的結(jié)構(gòu)進行分析，然后把類似的項目兩兩成對（可進行移項，同類項合并等），然后再判斷每對的大小（如正負性）。（3）綜合比較法：這是一個更復(fù)雜涉及因素更多需多方面考慮的證明方法，經(jīng)過綜合分析不等式，經(jīng)常會同時用到數(shù)種方法進行證明。應(yīng)用范圍：一般的，比較法通常用于雙側(cè)為多項式，分式或?qū)?shù)型的證明中，而坐商法一般用于雙側(cè)是乘冪或指數(shù)形式的不等式證明中。典型例題討論： 分析與綜合法概述：很多情況下，我們會把一個整體事物或現(xiàn)象劃分為更加熟悉簡潔的幾個部分，分別進行研究探討，并把各個部分的討論結(jié)果進行綜合研究，最終總結(jié)出論斷，此方法我們把它稱為分析與綜合法。當分析與綜合法應(yīng)用于不等式證明中時，它是從已知條件出發(fā)導(dǎo)出證明不等式分析方法，并同時從待證不等式問題出逐漸發(fā)找到該不等式的充分條件合成方法，最后歸結(jié)為已知條件。，而且。常見類型：（1）定性分析：一般的，我們會根據(jù)不等式雙側(cè)的具體結(jié)構(gòu)類型，也可進行一些變形，再比較雙側(cè)的正負性，如證明 ，（2）定量分析：有時候，我們可以直接計算出不等式雙側(cè)的值或是其具體極限，再用算出的論斷做出比較，形如： ， （3）因果分析：顧名思義，從結(jié)果的指導(dǎo)，通過相同的結(jié)果，是一個已知的條件下，一步一步導(dǎo)向不等式的結(jié)果，同時發(fā)現(xiàn)證明不等式的充分條件，最后成功證明不等式的方法。注意事項：（1）靈活熟練運用常用不等式，形如，（2）， 巧妙解讀并利用條件中的隱含條件