不等式證明方法五(編輯修改稿)
2024-10-07 13:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 不 等式來證明不等式。此類問題通常是把一個(gè)實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題通過構(gòu)造法轉(zhuǎn)變成另一個(gè)易于解決的數(shù)學(xué)問題。 （ 1）構(gòu)造函數(shù)，所謂 “ 構(gòu)造函數(shù) ” ，即構(gòu)造一個(gè)單調(diào)函數(shù)，來完成不等式的證明。 例 25111:,0 ?????xxxxx 求證已知?? ??????? )0(,1)(: 設(shè)則構(gòu)造函數(shù)證明 xxxxxxf)11()()1()1()()( ?????????? ????????? ff由0)1)(( ???? ?? ????25)2()1(,2)(?????fxxfxxf于是左邊上是增函數(shù)在知.11:,),2(104 2 ???????? kbbaaNkkka 求證且若例分析：本題中涉及 a、 b、 k三個(gè)字母，數(shù)量關(guān)系比較分散，注意到 ,2 aab ??? 若把右邊看成是關(guān)于 a的二次函數(shù)，則根據(jù) a的取值 范圍 )1,0(k，判斷函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性即可。 41)21(,: 22 ??????? aaab由已知證明上是增函數(shù)在則設(shè) )21,0()(,41)21()( 22 afaaaaf ???????,2110 ??? ka? ).1()(kfaf ?? kkaab 11 22 ??????即11122 ??????kkkkb11??? kb(2)構(gòu)造方程。所謂 “ 構(gòu)造方程 ” ，即先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)實(shí)數(shù)解的一元二次方程 （恒等變形構(gòu)造方程，或利用韋達(dá)定理構(gòu)造方程），再利用判別式大于等 于 0來完成證明。 例 已知實(shí)數(shù) a,b,c滿足 a+b+c=0和 abc=2,求證： a,b,c中至少有一個(gè)不小于 2 證明：由題設(shè)，顯然 a,b,c中必有一個(gè)是正數(shù)，不妨設(shè) a0，則 ?????????abcacb2這說明 b,c是二次方程 022 ???aaxx的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 2,8,08,0 32 ??????? aaaa 即得由2||,2||4||4||2)2(4||4||2,2||,2||)1(:,06 2?????????????????????則且如果且則如果求證有兩個(gè)實(shí)根的實(shí)系數(shù)二次方程已知關(guān)于例bbbbbaxxx???
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