線性代數(shù)與空間解析幾何(編輯修改稿)
2025-08-28 13:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 2 11 1 2 212121 1 1 2 1121212ni i inj j jnn n n na a aa a aa a aa a a?性質(zhì) 5 38 總結(jié)行列式性質(zhì) 性質(zhì) 1 性質(zhì) 2 推論 性質(zhì) 3 推論 性質(zhì) 4 性質(zhì) 5 換行 (列 )變號 . 兩行 (列 )同 ， 值為零 . 某行 (列 )乘數(shù) k=kD. 兩行 (列 )成比例 ,值為零 . D可按某行 (列 )分拆成兩行列式之和 . D某行 (列 )乘數(shù) k 加至另行 (列 ), 行列式值不變 . (轉(zhuǎn)置 ) (換法 ) (倍法 ) (消法 ) .DD?T39 計算 1 2 3 42 3 4 71 2 5 81 3 5 1 0D???? ? ??1 2 3 40 1 2 10 0 2 40 1 2 6?????例 7 解 通過行變換將 D化為上三角行列式 131412( 2 )rrrrDrr??????????? ? ?40 1 2 3 40 1 2 10 0 2 40 0 0 5?????10?24rr??????41 設(shè)有四階行列式 : 則展開式中 x4的系數(shù)是 ( ). (A) 2。 (B) ?2。 (C) 1。 (D) ?1. 2 1 21 1 10 2 001xxxDxxx?????解 含 x4的項只有一項 例 8 (?1)?(4321) a14a23a32a41=2x4 42 已知 計算 ,111222333a b ca b c aa b c?39。39。39。111222333a c ba c b ba c b?39。 39。 39。1 1 2 2 3 31 2 31 1 2 2 3 32 2 23 3 3a a a a a aD b b bc b c b c b? ? ??? ? ?例 9 43 解 39。 39。 39。1 1 2 2 3 31 2 31 2 32 2 2a a a a a ab b bc c c? ? ??D ?39。 39。 39。1 1 2 2 3 31 2 31 2 32 2 2a a a a a ab b bc c c? ? ??39。 39。 39。1 1 2 2 3 31 2 31 2 32 2 23 3 3a a a a a ab b bb b b? ? ?由性質(zhì) 4 44 2ab??1 2 31 2 31 2 3a a ab b bc c c??39。 39。 39。1 2 31 2 31 2 32 2 2a a ab b bc c c111222333a b ca b ca b c?39。11139。22239。3332a c ba c ba c b?45 下面討論將 n階行列式轉(zhuǎn)化為 n1階行 列式計算的問題 , 即 ija( 1 ) iji j i j???AM 行列式展開定理 ij nDa?定義 在給定的 n階行列式 中 ,把元素 所在的 i 行和 j 列的元素劃去 ,剩余元素 ijM記作 。 而元素 的 代數(shù)余子式 記作 ija構(gòu)成的 n1階行列式稱為元素 的 余子式 , ija( 1)ijij ij???AM46 ?ijM11 1 111jni ij inn nj nna a aa a aa a a47 1 2 3 42 3 4 71 2 5 81 3 5 1 0D???? ? ??11 ?M在行列式 中 例 10 3 4 72 5 8 113 5 10?? ? ??， 111 1 1 1( 1 ) 1 1?? ? ?AM21 ?M2 3 42 5 8 123 5 10?? ? ??， 212 1 2 1( 1 ) 1 2?? ? ? ?AM48 若 D 的第 i 行元素除 外都是零， ijai j i jD a A?引理 則 行 (列 )的所有元素與其對應(yīng)的代數(shù) 余子式的乘積之和 , 即 1 1 2 2 ( 1 , 2 , , )i i i i i n i nD a A a A a A i n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?定理 3 1 1 2 2 ( 1 , 2 , , )j j j j n j n jD a A a A a A j n? ? ? ??? ? ? ???ij nDa?n階行列式 等于它的任意一 49 1 1 1 2 112120 0 0 0 0 0 0ni i inn n n na a aD a a aa a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 ( 1 , 2 , , )i i i i i n i na A a A a A i n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?50 ?1 1 2 2 ,0,i j i j n i n j D i ja A a A a A ij?? ? ? ? ?1 1 2 2i j i j i n j na A a A a A? ? ? ? ? ? ?n階行列式 ,則 ij nDa?定理 4 ? 0D i jij??51 證 11 12 1121212ni i ini i inn n nna a aa a aGa a aa a a??及降階法將 G 按 j 行展開有 G ?001 1 2 2i j i j i n j na A a A a A? ? ??? ? ?第 i 行 第 j 行 由 52 — 利用 n階行列式的定義計算 。 — 利用性質(zhì)化為三角形行列式來 計算； — 利用行列式的按行 (列 )展開 性質(zhì)對行列式進行降階計算； 4. 加邊法 (升階法 )。 5. 遞推公式法； . 總結(jié) n行列式的計算方法 53 計算 n 階行列式 (行和相同 ) 例 1 nx a a aa x a aD a a x aa a a x??????? ??????54 1( 2 , 3 , , )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )ic c i nnx n a a a ax n a x a aD x n a a x ax n a a a x? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?解 11[ ( 1 ) ] 11a a ax a ax n a a x aa a x??????? ? ? ??????55 1( : 2 , 3
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