[第三章]賦范線性空間-資料下載頁
2025-07-21 18:20本頁面
【正文】 界 3 ）范數(shù)的等價性 定義 設(shè)線性空間 E 中定義了兩種范數(shù)1x和2x 如果由1200nnxx ? ? ?，稱1x比2x更強； 若又 由2100nnxx ? ? ?，即2x比1x更強， 則稱 范數(shù)1x 與2x 等價。 注 ：范數(shù)等價 具 有傳遞 性 例如：可以證明 R n 中三種范數(shù)1x、2x、 x?相互等價 定理（范數(shù)等價判別定理） 在線性空間 E 中，兩種范數(shù) 1x 與2x 等價的 12 0 , 0 ,k k x E? ? ? ? ? ?對 于， 都 有 12 2 1 2k x x k x?? 。 證： ? ? 反證法 167。 有限維賦范線性空間 有限維賦范線性空間比一般賦范線性空間有更多的優(yōu)勢，通常在有限維賦范線性空間中處理問題更簡單。 1) 定義 設(shè) E 是賦范線性空間。若存在 n 個線性無關(guān)的元素12,ee ,neE ? ，使得 xE?? ，有唯一表達式 1 1 2 21nn n i iix x e x e x e x e?? ? ? ? ? ? 則稱 E 為有限維（ n 維）賦范線性空間。稱12{ , , , }ne e e為 E 的基（底），而稱12{ , , , }nx x x為 E 在該基下的坐標(biāo)。 2 ） 性質(zhì) 除了一般的賦范線性空間的性質(zhì)外，有限維賦范線性空間還有一些特殊的性質(zhì)。 （ 1 ） 有限維賦范線性空間的各種范數(shù)等價 。 （ 2 ） 有限維賦范線性空間必是完備 、 可分的空間。 （ 3 ） 賦范線性空間 E 是有限維的 ? E 中的任意有界閉集是列緊的（即有界閉集中的任意點列都有收斂的子列）。 （ 4 ） 任意 n 維賦范線性空間都與 Rn代數(shù)同構(gòu) （ 有相同的代數(shù)運算性質(zhì)）。
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