武漢理工線性代數(shù)課件第三章-資料下載頁
2025-04-17 04:30本頁面
【正文】 層意思：（1）++…是方程組的解；（2）任意一個解都可以寫成的線性組合形式（沒有其它形式的解）.由性質(zhì)，第（1）條成立，由最大無關(guān)組的定義，第（2）. 如果是齊次線性方程組的非零解，且滿足：(1) 線性無關(guān)；(2) 任意一個解都可以由線性表示.則稱是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系. ？ 如果n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩，則方程組的基礎(chǔ)解系存在，且每個基礎(chǔ)解系恰好含有nr個解，同時方程組的每一個解都是基礎(chǔ)解系的線性組合. 根據(jù)本定理的證明過程（見教材）得知求基礎(chǔ)解系的方法和過程： (1) 寫出系數(shù)矩陣，施以初等行變換化為階梯形矩陣，若，繼續(xù)作初等行變換化為行最簡形矩陣（不妨設(shè)前r個向量線性無關(guān)，則首元位于第1~r列，若不是前r個向量做法相同）：(2) 寫出等價方程組： (3) 令自由未知量依次取值為初始單位向量組：，得出其它未知量的值：= ，…，(4) 將所有未知量合寫在一起，得到方程組的nr個線性無關(guān)的解，即基礎(chǔ)解系：，…，在上述步驟(3)中，自由未知量只要取值nr個線性無關(guān)的向量就行，但一般是取初始單位向量組，此時計(jì)算量最?。◣缀醪挥糜?jì)算），表達(dá)最方便.2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)（1）非齊次線性方程組解的性質(zhì) 當(dāng)齊次線性方程組和非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣相同時，稱為對應(yīng)的齊次方程組或?qū)С鼋M.性質(zhì) 如果是方程組的解， 是導(dǎo)出組的解，那么也是方程組的解； 如果都是方程組的解，那么是其導(dǎo)出組的解.這兩條性質(zhì)表明方程組的解和它的導(dǎo)出組的解之間有關(guān)系，那么的全部解與導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系有著怎樣的關(guān)系呢？（2）線性方程組的全部解 對于n元非齊次線性方程組，如果有n，且是的一個特解，而是導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系，則方程組的全部解表示為： 定理告訴我們求方程組的全部解，只需要求出一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系. 我們已經(jīng)學(xué)會了求基礎(chǔ)解系，剩下的問題是求一個特解. 其實(shí)都可以用矩陣的初等行變換.(1) 寫出增廣矩陣，并施以初等行變換化為階梯形矩陣，若，繼續(xù)作初等行變換化為行最簡形矩陣：(2) 寫出等價方程組：(3) 若，寫出它的唯一解； 若，令，求出一個特解，以及導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系（上一個小節(jié)）.(4) 寫出全部解：.3 線性方程組關(guān)于解的等價命題矩陣的秩、向量組的線性關(guān)系和方程組是否有解及有多少個解之間有著密切的聯(lián)系. 如果非齊次線性方程組矩陣形式，向量形式，以下命題都是等價命題：非齊次線性方程組有解；增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等，即；向量組與等價；向量可以由線性表示；兩個向量組的秩相同，即如果齊次線性方程組矩陣形式0，向量形式0，以下命題都是等價命題：齊次線性方程組0有非零解；系數(shù)矩陣的秩小于未知量的個數(shù)，即線性相關(guān)；中至少有一個向量可以由其余向量線性表示. 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解：解 齊次方程組的方程個數(shù)小于未知量個數(shù)，：等價方程組：令自由未知量和 得到：和，所以基礎(chǔ)解系為：方程組的通解：，其中為任意實(shí)數(shù). 本例中，如果令自由未知量和 得到：和，那么基礎(chǔ)解系為：. 如果是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明：（1）也是它的基礎(chǔ)解系；（2）不是它的基礎(chǔ)解系.證明 確定是否為基礎(chǔ)解系要確定三點(diǎn)：基礎(chǔ)解系含幾個解，是否為方程組的解，是否線性無關(guān). (1) 因?yàn)槭驱R次線性方程組的基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系的線性組合是方程組的3個解.又 ，即是可逆矩陣，解向量線性無關(guān)，所以是基礎(chǔ)解系.(2) 又 ，向量組線性相關(guān)，不是基礎(chǔ)解系. 求解線性方程組：解 對系數(shù)矩陣作初等行變換化為行最簡形：所以，： 令自由未知量，得到一個特解：對應(yīng)的齊次線性方程組：令自由未知量，得到基礎(chǔ)解系： 因此，方程組的全部解是，其中為任意實(shí)數(shù). 為何值時，下面的線性方程組 (1) 有唯一解；(2) 無解；(3) 有無窮多解，并求出通解.解 這個方程組帶有一個參數(shù)，而且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相同，所以先用克萊姆法則確定參數(shù)的值：且所以當(dāng)，且時方程組有唯一的解；然后再用矩陣方法確定或時方程組解的情形：當(dāng)時，表明，而，線性方程組無解； 當(dāng)時，表明，： 求得特解：，而導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：，那么全部解是：，其中為任意實(shí)數(shù). 設(shè)和是線性方程組 的解，求：(1) ；(2) 導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系；(3) 方程組的全部解.解 (1) 這是一個三元線性方程組，已知有兩個解，意味著有無窮多解，那么；而系數(shù)矩陣中有一個二階子式，.(2) 三元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，基礎(chǔ)解系存在，是導(dǎo)出組的非零解，可取為基礎(chǔ)解系.(3) 方程組的全部解為：.2
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