武漢理工線性代數(shù)課件第三章(編輯修改稿)
2025-05-14 04:30 本頁面
【文章內容簡介】 可以由 (B) 組線性表示，稱(A)可由 (B)線性表示；如果(A)與(B)可以互相表示，則稱向量組(A)與向量組(B)等價.等價向量組的性質： 自反性：每個向量組與自身等價； 對稱性：若向量組(A)與向量組(B)等價，則(B)與(A)等價； 傳遞性：若向量組(A)與(B)等價，且向量組(B)與(C)等價，則向量組(A)與(C)等價.設向量組(A)可由向量組(B)線性表示，那么存在使得即：存在矩陣使得其中。稱為向量組(A)由向量組(B)線性表示的系數(shù)矩陣。 更簡單地說，矩陣方程有解，那么向量組A由向量組B線性表示，其解X為表示矩陣。 問向量能否由向量組：線性表示？若能，寫出其表示式。解 可由向量組線性表示，且有。2 線性相關與線性無關 線性相關和線性無關研究一個向量組與零向量的關系. 對于給定的向量組，如果存在一組不全為零的數(shù)使得0 ()成立，稱向量組線性相關；如果當且僅當時()式成立，那么稱線性無關. 對于給定的向量組，如何判斷是否有一組不全為零的數(shù)使0 呢？如何求出這組數(shù)呢？可以將()式看成一個齊次線性方程組，它以為未知量，為系數(shù)，： 向量組線性相關的充分必要條件是，線性無關的充分必要條件是.推論1 n個n維向量線性相關的充分必要條件是，線性無關的充分必要條件是.推論2 個n維向量一定線性相關，即向量組中所含向量個數(shù)大于維數(shù)時必定線性相關.根據(jù)上面的討論，n個m維向量組成的向量組：當時，一定線性相關；當時，可用行列式是否為零判斷其線性相關性；無論n和m哪個大，都可以用初等變換求秩來判斷是否線性相關，與判斷齊次線性方程組是否有非零解的步驟相同.求線性關系式的一組系數(shù)，就是要求出相應的齊次線性方程組的任一組非零解。 下面是一些關于線性組合和線性相關的簡單有用的結論：178。 一個零向量線性相關，一個非零向量線性無關；178。 含有零向量的向量組線性相關；178。 兩個向量線性相關的充要條件是對應分量成比例；178。 初始單位向量組線性無關；178。 任何向量可由初始單位組線性表示；178。 零向量是任何向量組的線性組合；178。 向量組中的任何一個向量可以由該向量組線性表示. 由向量組中的一部分向量組成的新向量組稱為原向量組的部分組. 一個向量組線性無關，則它的任何部分組線性無關；如果向量組的一個部分組線性相關，則原向量組線性相關. 證明：兩個向量線性相關的充要條件是對應分量成比例.證明 必要性：設向量和線性相關，即存在不全為零的數(shù)，使得=0不妨設，那么由=0，即有成立，即對應分量比例.充分性：如果對應分量比例成比例，就是存在數(shù)使得即 0記，那么存在不全為零的數(shù)使得0即線性相關。 設向量組線性無關，證明：向量組線性相關.證明 證明向量線性相關，一般用定義或用矩陣的秩，也有用其它相關定理的。下面我們給出兩種常用方法的證明過程，希望同學們掌握.(一) 用定義證明 設有數(shù)使得0即 0由于線性無關，根據(jù)線性無關的定義上式成立的條件是 其系數(shù)行列式，根據(jù)克萊姆法則，這個齊次線性方程組有非零解，即存在不全為零的數(shù)使得0根據(jù)線性相關的定義，向量組線性相關。(二) 用矩陣的秩證明對向量組組成的矩陣作初等變換那么，所以，向量組線性相關. 設有向量組（A）：，向量組（B）：，問向量組（A）是否線性相關？向量組（B）能否用向量組（A）線性表示？表示式是什么？解 對向量組（A）和（B）組成的矩陣進行初等行變換： 由此可知：，向量組（A）：線性無關；，所以可以由向量組（A）：線性表示，表示式為；而，所以不能由向量組（A）：線性表示.因此，向量組（B）不能用向量組（A）線性表示. 為何值時，向量組(1) 線性無關；(2) 線性相關，并且求出線性關系式.解 對給出的向量組成的矩陣進行初等行變換： (1) 顯然，時，有一個三階子式所以，即，那么線性無關；(2) 而時， ，即，化為行最簡形： 得到線性關系式：.3 線性組合與線性相關有關定理 向量組線性相關的充分必要條件是中至少有一個向量是其余n1個向量的線性組合. 如果向量組線性無關，添加一個向量后線性相關，那么可由線性表示，且表示式唯一. 如果向量組(A)可由向量組(B)線性表示，且，那么向量組(A)線性相關.推論1 如果向量組(A)可由向量組(B)線性表示，且向量組(A)線性無關，那么.此推論即是上面定理的逆否命題.
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