【正文】 ? ??????????????? ,2,1, 2121 nxxxyxxxx nn定義的算子 ???llT: 是線性有界的，并求 T . 證明： T 顯然是線性的。下證 T 是有界的。 14 因為： ? ? xxnxyTx nnnn ?????????? ?? 11 s ups up,所以 T 是線性有界算子。且 1?T , ??1 特別地?。?? ? ????????? lx ,0,0,0,10 ,則 10 ?x , 1s u p001 ???? ? yTxTxT x,從而有 : 1?T ??2 由 ??1 、 ??2 可知 ： .1?T 線性算子空間 命題 線性算子空間： 如果 21 XX， 是同一數(shù)域 K 上的線性賦范空間， 那么 把 21 XX? 的一切線性算子構(gòu)成的集合稱為 21 XX ? 的線性算子空間，記為 ? ?21 XX? 即： ? ?21 XX ? ? ?的線性算子是 21 XXTT ?? 。 命題 線性有界算子空間： 如果 YX, 是數(shù)域 K 上的賦范線性空間， 那么 X 到 Y中的有界線性算子的全體記作： ? ?YXB , 。 命題 算子范數(shù)：如果 T 是線性賦范空間 X 到線性賦范空間 Y 的有界線性算 子， 那么 稱xTxT x Xx 01 sup???為算子 T 的范數(shù)。 算子范數(shù)：如果 T 是線性賦范空間 X 到線性賦范空間 Y 的有界線性算 子， 能夠 使： xMTx ? ‖對一切 Xx? 都成立的正數(shù) M 的下確界，稱為算子 T 的范數(shù)，記為 T ，即 ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf 。 例 1： 1TT ? . 證明： ??1 對 Xx?? ,因為 :?????????? ??? XxxxTxT ,0:s up1,所以： 1TxTx? 從而 有： xTTx 1? ,而 ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf 所以 。 TM? ,又因為 ： ? ?MT ?1 ,所以： TT ?1 . ??1 ??2 因為： ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf , 15 記?????????? ???? 0,:inf xMxTxMT ,明顯地有 ??TT 及 xTxT ?? , 而 1T 為??????????xTx 的上確界 ， 即是??????????xTx 上界中的最小者， 所以 1TT ?? ，因此： 1TT ? . ??2 由 ????2 可得： 1TT ? . 例 2：設(shè) ? ?YXBT ,? ，證明：對 1??r ，存在 ? ?rBx ,?? 使得 TTx? 。 證明：對 1??r ，由 TrT ? ， 可取 ? ?xSy? ，使得 rTTy? ， 令TyTyx?，從而有 : TTx? 。 例 3：線性積分算子的范數(shù)： 如果 ? ?tsK, 在矩形 btsa ?? , 上連續(xù)，那么 ： ? ? ??dttxtsKTx ba?? ,， 定義了 ? ? ? ?baCbaC , ? 上 的線性有界算子， 那么 有： ? ?dttsKT babsa ???? ,m a x。 定理 算子圖像： 如果 21 XX， 是 線性賦范空間， ? ? 21: XXTDT ?? 是線性算 子，如果 T 的圖像 ? ? ? ? ? ?? ?TDxTxyyxTG ??? , 是乘積空間 21 XX? 中的閉集， 那么稱 T 是閉線性 算子（簡稱 為 閉算子）。 引理 (閉算子的等價條件 )： 如果 21 XX， 是線性賦范空間， ? ? 21: XXTDT ?? 是線性算子，那么 T 是閉算子等價于 ? ?TDxn?? ，當(dāng) yTxxx nn ?? , 時必有 ??TDx? 而且 yxT ? 。 證明：必要性： ? ? ? ?yxTxx nn , ?? 當(dāng) ? ? ? ?yxTxx nn , ? 時，明顯的有： yTxxx nn ?? , ，由條件知 ? ?TDxn?? 且 yxT ? ，那么有 ： ? ? ? ?Txxyx , ? ? ??TG ，即 ??TG 中每一收斂點斂的極限均存在 ??TG 中，從而有 ??TG 是閉集即 T 是閉算子。 充分性：如果 T 是閉算子，那么當(dāng) ? ?TDxn?? ， yTxxx nn ?? , 時，明 16 顯的有 ? ? ? ?TGTxx nn ? )，而且在乘積空間 21 XX? 中有 ? ? ? ?yxTxx nn , ? ，又因為??TG 是 21 XX? 中的閉集，所以 ? ? ? ?Txxyx , ? ? ??TG 即 ? ?TDxn?? 時 有 Txy? 。 有界性與閉性 對于線性算子已有三個重要的概念：連續(xù)性、有界性、閉性，我們已經(jīng)知道對于線性算子的連續(xù)性和有界性是等價的，因此對于線性算子實際上只有兩個不同的概念即有界性與閉性。下面我們來研究有界性與閉性的關(guān)系即有界線性算子在什么條件下是閉線性算子？閉線性算子在什么條件下是有界線性算子？ 定理 ： 如果 ? ? 21: XXDT ?? 是線性有界算子， 若 ??TD 是 1X 的閉線性子空 間，那么 T 為閉線性算子。特別地：當(dāng) ??TD ? 1X 時， T 是閉線性算子。 證明： ? ? ? ?TGTyx nn ?? , ，當(dāng) ? ? ? ?yxTxx nn , ? 時，要證明： ? ? ? ?TGyx ?, 因為： ? ? ? ?yxTxx nn , ? 等價于 yTxxx nn ?? , ，又因為： ??TD 是閉集，所以 ? ?TDx? 。由于： T 是有界的，則 TxTxnn ???lim 。從而 有 Txy? 。由 引理 知 ：T 是閉線性算子。 例 1： 令 ? ?10，CX? ， ? ? ? ? ? ?? ?1,0CtxXxTD ???? ，定義 ? ? ? ?10: ，CXTDT ?? 如下： ? ?TDxn?? ， ? ? ??txxT ?? ， 證明： T 是無界的，但 T 是閉線性算子。 證明：顯然知 ： T 是無界算子。 下 面 證 明 ： T 是閉算子， 設(shè) ? ?TDxn? 且 yTxxx nn ?? , ， 由于 ? ?10，C 中的收斂是函數(shù)列的一致收斂，由 ? ? ? ? ? ?tytTxtx nn ??? 即 ??txn? 在 ? ?10，C 中是一致收斂于??ty 的 ， 因此 有： ? ? ? ? ? ? ?????? dxdxdy t nnnt nt ??? ???? ???? 000 l i ml i m ? ? ? ?? ????? 0lim nnn xt ?? ? ?0xtx ? ， 即 ? ? ? ? ? ? ?? dyxtx t??? 00 ，從而有 ? ?TDxn? 且 yxTx ??? ，由 引理 知： T 是閉線性算子。 17 參考文獻 [1] 胡適耕 . 泛函分析 [M]. 北京：高等教育出版社， 2022. [2] 夏道行等 . 實變函數(shù)論與泛函分析 [M]. 北京：人民教育出版社， 1979. [3] 張恭慶等 . 泛函分析講義（上冊） [M]. 北京：北京大學(xué)出版社， 1987. [4] 李廣民 ,劉三陽 . 應(yīng)用泛函分析原理 [M]. 陜西：西安電子科技大學(xué)出版社， 2022 [5] 李曉愛 . 線性賦范空間上泛函列的一致連續(xù)性定理 [J]. 延安大學(xué)學(xué)報 (自然科 學(xué)版 )： 2022： 01:910. [6] 李宗鐸 . 線性賦范空間中幾個概念的探討 [J]. 岳陽大學(xué)學(xué)報： 1989： 02:5557. [7] 王艷博 ,張云峰 . 關(guān)于泛函分析中定理的推廣 [J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報： 1998： 01:8184. [8]鄭維行 ,王聲望 .實變函數(shù)與泛函分析概要 [M]. 北京：人民教育出版社 ， 1980. [9]劉培德 .泛函分析基礎(chǔ) [M].北京：科學(xué)出版社， 2022. [10]葉懷安 .實變與泛函 [M]. 安徽：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社， 1991. [11]趙煥光 .泛函分析入門 [M].四川：四川大學(xué)出版社， 2022. 18 致 謝 非常感謝何瑞強老師在我大學(xué)階段尤其畢業(yè)設(shè)計階段給我的指導(dǎo)，從最初的論文選題，到資料收集，到問題的設(shè)計，到提綱的擬定，到論文定稿，他給了我耐心的指導(dǎo)和很多的鼓勵。在大學(xué)期間，何老師給我們上的各種課程，給予我們很多的知識，體現(xiàn)何老師淵博的專業(yè)知識 和嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度；在修改論文時總是犧牲他的休息時間，他的這種無私奉獻的敬業(yè)精神令人欽佩，在生活中何老師的為人對我的論文寫作乃至我人生都有一定的積極影響，在此我向他表示我誠摯的謝意。 其次，我要感謝所有任課老師在這四年來給自己悉心教導(dǎo)，是他們教給我專業(yè)知識，教導(dǎo)我如何學(xué)習(xí)，教會我如何做人。正是由于他們的指導(dǎo)，我才能在各個方面取得顯著的進步，在此我向他們表示衷心的感謝，并祝老師們培養(yǎng)出越來越多的優(yōu)秀人才，桃李滿天下！ 再次，我要感謝和我一同度過大學(xué)學(xué)習(xí)生涯的同窗好友閆芹娟、鄧美蘭、曹海琴、程文、 王璦玲、景娟對我的關(guān)心與幫助。 最后，我要感謝我的家人，他們的鼓勵與關(guān)懷給我的生活提供了無窮的動力與源泉，促使我不斷進步。