【正文】 ??2 由 ????2 可得： 1TT ? . 例 2：設(shè) ? ?YXBT ,? ，證明：對 1??r ，存在 ? ?rBx ,?? 使得 TTx? 。下面我們來研究有界性與閉性的關(guān)系即有界線性算子在什么條件下是閉線性算子？閉線性算子在什么條件下是有界線性算子？ 定理 ： 如果 ? ? 21: XXDT ?? 是線性有界算子， 若 ??TD 是 1X 的閉線性子空 間，那么 T 為閉線性算子。 下 面 證 明 ： T 是閉算子， 設(shè) ? ?TDxn? 且 yTxxx nn ?? , ， 由于 ? ?10，C 中的收斂是函數(shù)列的一致收斂，由 ? ? ? ? ? ?tytTxtx nn ??? 即 ??txn? 在 ? ?10，C 中是一致收斂于??ty 的 ， 因此 有： ? ? ? ? ? ? ?????? dxdxdy t nnnt nt ??? ???? ???? 000 l i ml i m ? ? ? ?? ????? 0lim nnn xt ?? ? ?0xtx ? ， 即 ? ? ? ? ? ? ?? dyxtx t??? 00 ，從而有 ? ?TDxn? 且 yxTx ??? ，由 引理 知： T 是閉線性算子。 。 例 1： 令 ? ?10，CX? ， ? ? ? ? ? ?? ?1,0CtxXxTD ???? ，定義 ? ? ? ?10: ，CXTDT ?? 如下： ? ?TDxn?? ， ? ? ??txxT ?? ， 證明： T 是無界的，但 T 是閉線性算子。 充分性：如果 T 是閉算子，那么當(dāng) ? ?TDxn?? ， yTxxx nn ?? , 時，明 16 顯的有 ? ? ? ?TGTxx nn ? )，而且在乘積空間 21 XX? 中有 ? ? ? ?yxTxx nn , ? ，又因為??TG 是 21 XX? 中的閉集，所以 ? ? ? ?Txxyx , ? ? ??TG 即 ? ?TDxn?? 時 有 Txy? 。 算子范數(shù)：如果 T 是線性賦范空間 X 到線性賦范空間 Y 的有界線性算 子， 能夠 使： xMTx ? ‖對一切 Xx? 都成立的正數(shù) M 的下確界，稱為算子 T 的范數(shù)，記為 T ，即 ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf 。 例 4：用 1C ??10， 表示 ??10， 上 的 連續(xù)可微函數(shù)的全體， 那么 1C ??10， 是 C ??10， 的 線性 子空間定義 :T 1C ? ?ba, ? C ??10， 如下： ??x 1C ??10， ， ???? txTx ， 證明： T 是 線性無界算子。 13 例 2： ? ? ? ?baCbaCT ,: ? ，定義為： ? ?baCx ,?? ， ? ? ?? dxTx ta??， ? ?bat ,?? 證明： T 是線性有界算子。 注： ??1 ??TR 是 Y 的線性子空間， ??TN 是 X 的線性子空間。 因為 ???????? ?????? ????? xtxttxxy 100 dt? ， ? ? ? ? .0 ydttdtxxy ????? ?? 于是 ??x? 是有界的 ， 且 11 ?G? 11 另一方面：由 d 的定義 ， 則可取一列 ? ? Gxn ? ,使0lim nnd x x????于是 有：? ? ? ? ? ? ? ? 000 1 xxdxxxxx nGnn ???????? ????? ， 當(dāng) ??n 時 ， 有 ?d1G?d ， 從而有 11 ?G?，所以 11 ?G?，由 HahnBanach 定理，把泛函 ? 延拓到全空間 X 得 f ，則 f 滿足： ??1 ? ? ? ? ,0, ???? xxfGx ?； ??2 ? ? ? ? .00 dxxf ??? ??3 .11?? GXf ? 命題 延拓定理的幾點應(yīng)用： ??1 ieszR 定理： 若 ? ?? ? ,1,0 ?? Cf 那么 存在唯一的 ? ?,1,00Vg? 使 ? ?,baCx?? 有? ? ? ? ? ?tdgtxxf ?? 10 ， 且有 ? ?gVf 10? 。 ??3 PL ??ba, （ ????P1 ）的共軛空間是 ?? baLq , ???????? ?? 1q1p1。 證明：因為 ： ? ?supxfxf x???所以 ： ??fx是 ? ? ? ?fx xx ??的上界，所以 有： f ? ? ? ? ?fx xx ??從而： ? ?f x f x? 。 例 3：設(shè) ? ?yxT ?? ,證明：如果 T 有界，則 ? ? ? ?XxTxxTN ??? ,0是閉集。 充分性：設(shè) ? ? ? ?, x D , x ,nnx D x n? ? ? ? ?則 00nx x x? ? ? ? ?.n?? ??fx在 0xD? 連續(xù) .于是 有 ? ? ? ? ? ? ? ?nnf x x x f x f x f x? ? ? ? ? ? ?.n?? 那么有 ? ? ? ?? ?nf x f x n? ? ?即 ??fx在 x 點連續(xù)，因此 ??fx在 D 上連續(xù)。 ? ?baCx ,?? ,則 ? ?txxbta ??? max,那么： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dttytxdttytxxf baba 00 ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ?dttyxdttytx baba bta ?? ??? 00m a x.令 ? ?dttyM ba?? 0,則 ? ? .xMxf ? 從而 ??xf 是有界的。 例 1：區(qū)別線性有界與微積分中的有界概念的不同。（簡稱 ??nx 收斂于x），記為 limnn xx?? ?或 ? ?.nx x n? ? ? 線性賦范空間的一些性質(zhì) 引理 如果 X 是線性賦范空間， ? ? ? ?nnx y X?、 ??1 有界性： 如果 ? ?.nx x n? ? ?則 ? ?nx 有界。 分析 ： xypl??， ， ? ?1, 2 ny y y y? K?? 加法： ? ?1 1 2 2,x y x y x y? ? ? ? 數(shù)乘 : ? ?12, nx x x x? ? ? ?? 從而 pl 是線性空間。第 1 章介紹了線性賦范空間泛函有界性的發(fā)展概述及問題的提出，以及本論文的主要內(nèi)容；第 2 章闡述了與線性賦范空間泛函有界性相關(guān)的的一些概念以及其它一些有界性相關(guān)的性質(zhì)；第 3章談?wù)摿司€性賦范空間泛函有界性與泛函連續(xù)性之間的等價關(guān)系，并給出相關(guān)的例題進(jìn)行兩者之間的等價變換；第 4 章推廣泛函有界性到兩個賦范空間中去，得出一些線性有界算子的結(jié)論。then,relationship between bounded and continuous on normed linear space function,according to the equivalence of some related functional theory is derived and some related problems easy to understand and master。 關(guān)鍵詞 ：線性賦范空間；線性有界泛函；線性連續(xù)泛函；線性有界算 子 Normed linear space bounded functional studies Xue Jufeng Class 1104, Mathematics Department Tutor:He Ruiqiang Abstract:This paper studies is a normed linear space functional on the discussion from three aspects:first of all,this is a normed linear space functional continuity and boundedness,functional and related knowledge。 本文主要探討了 線性賦范空間泛函有界性的一些性質(zhì)以及泛函有界性在相關(guān)泛函理論方面的推導(dǎo)，全文共分為四個部分。 例 1 : ? ? p1 2 n ii = 1x x = x x x xpl???? ??? ??? ? ? ??????，是線性賦范空間。如果 X 是線性賦范空間， ??nx 是 X中的點列 ， ,xX? 若 lim 0nn xx?? ??就稱 ??nx 依范數(shù)收斂于 x。 命題 線性有界： 如果 ? ? 1:f D X R??是線性泛函，若存在 0M? ，對任 何 xD? ，有 ? ?f x M x? ，那么稱 f 是 D 上的線性有界泛函。 ? ?不全為零， ?? 證明： ? ?baCyxknm , ???? ??1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dttytyndttytxmdttytnymxnymxf bababa 000 ??? ????? ? ? ? ?.ynfxmf ?? 所以 ??xf 是線性的。 證明：必要性： ??fx在 D 上連續(xù)，顯然有： ??fx在 0xD? 連續(xù)。 又 由于