【正文】 ；線性有界泛函；線性連續(xù)泛函；線性有界算 子 Normed linear space bounded functional studies Xue Jufeng Class 1104, Mathematics Department Tutor:He Ruiqiang Abstract:This paper studies is a normed linear space functional on the discussion from three aspects:first of all,this is a normed linear space functional continuity and boundedness,functional and related knowledge。 I 目 錄 1 引言 ............................................................................................................................................ 1 2 線性賦范空間 ...................................................................................................................... 1 預備知識 ........................................................................................................................... 2 線性賦范空間的一些性質 ................................................................................................ 3 3 線性有界泛函與共軛空間 ............................................................................................ 4 線性有界泛函 .................................................................................................................... 4 線性有界泛函與線性連續(xù)泛 函 ........................................................................................ 6 共軛空間 ........................................................................................................................... 8 4 線性有界算子 .................................................................................................................... 11 線性有界算子 定義與舉例 .............................................................................................. 11 線性有界算子與線性連續(xù)的關系 .................................................................................. 12 線性算子空間 .................................................................................................................. 14 有界性與閉性 .................................................................................................................. 16 致 謝 ........................................................................................................................................... 18 II 線性賦范空間泛函有界性研究 數(shù)學系本 1104 班 薛菊峰 指導教師： 何瑞強 摘要 ：本文研究的是線性賦范空間泛函有界性。then,relationship between bounded and continuous on normed linear space function,according to the equivalence of some related functional theory is derived and some related problems easy to understand and master。bounded linear operator 1 1 引言 有學者在這方面已經(jīng)做了一定的研究如：李宗鐸在《線性賦范空間中幾個概念的探討》證明了當給線性賦范空間裝備以相應的拓撲，與線性拓撲空間體系 下所定義的線性賦范空間，有界集、線性算子的有界性等概念是等效的，同時嚴格證明了有界線性算子范數(shù)兩種規(guī)定的一致性；王艷博、張云峰在《關于泛函分析中定理的推廣》對于賦范空間 X 和 Y ，從 X 到 Y 的全體線性有界算子 ? ?YXB , 關于算子范數(shù)亦成為賦范空間，且知當 Y 是完備空間時， ? ?YXB , 也是完備的。第 1 章介紹了線性賦范空間泛函有界性的發(fā)展概述及問題的提出，以及本論文的主要內容；第 2 章闡述了與線性賦范空間泛函有界性相關的的一些概念以及其它一些有界性相關的性質；第 3章談論了線性賦范空間泛函有界性與泛函連續(xù)性之間的等價關系，并給出相關的例題進行兩者之間的等價變換；第 4 章推廣泛函有界性到兩個賦范空間中去，得出一些線性有界算子的結論。 預備知識 命題 線性賦范空間：如果 X 是實數(shù)域（或復數(shù)域） K 上的線性空間 ， 在 X 上定義映射 ： 1 :xXR? ? ? ，如果 x y a ,XK? ? ?， ， 滿足以下三條： ??1 正定性： x 0 , x = 0 x= 0.?? ??2 正齊性： x = x?? ??3 三角不等式： x+y x y?? 則稱 x 為 x 的范數(shù)，稱 x ?（ ， ） 為線性賦范空間，簡記為 X。 分析 ： xypl??， ， ? ?1, 2 ny y y y? K?? 加法： ? ?1 1 2 2,x y x y x y? ? ? ? 數(shù)乘 : ? ?12, nx x x x? ? ? ?? 從而 pl 是線性空間。 例 3：設 ?? ?,1pL a b p? ?? 為 ?,ab?? 上 p 方 L 可積函數(shù)的全體，其中幾乎處處相等的函數(shù)視為同一函數(shù)，幾乎處處為零的函數(shù)看作零元。（簡稱 ??nx 收斂于x），記為 limnn xx?? ?或 ? ?.nx x n? ? ? 線性賦范空間的一些性質 引理 如果 X 是線性賦范空間， ? ? ? ?nnx y X?、 ??1 有界性： 如果 ? ?.nx x n? ? ?則 ? ?nx 有界。 ??2 因為： ? ?,nnx x y y n? ? ? ?所以： lim 0nn xx?? ?? lim 0.nn yy?? ??于是有： . ? ? ? ? ? ?l im l im l im l im 0n n n n n nn n n nx y x y x x y y x x y y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?從而有 ： lim ,nnn x y x y?? ? ? ?即 ? ?.nnx y x y n? ? ? ? ? l im l im 0 ,nnnnx x x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?‖ 即 ? ?.nx x n?? ? ? 定理 ：如果 X 是線性賦范空間， d 是由范數(shù)導致的距 離， 那么 0, , , ,x y z X k?? ? ?有 4 ??1 平移不變性： ? ? ? ?00, , .d x z y z d x y? ? ? ??2 絕對齊次性： ? ? ? ?, , .d x y d x y? ? ?? 證明： ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, , .d x z y z x z y z x y d x y? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) ? ? ? ?, , .d x y x y x y d x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 線性有界泛函與共軛空間 線性賦范空間泛函有界性在不少問題的研究中常常起著重要的作用，又因其與連續(xù)泛函有著密切的聯(lián)系，所以對其進行系統(tǒng)的歸納、總結十分必要。 例 1：區(qū)別線