【正文】 ；線性有界泛函；線性連續(xù)泛函；線性有界算 子 Normed linear space bounded functional studies Xue Jufeng Class 1104, Mathematics Department Tutor:He Ruiqiang Abstract:This paper studies is a normed linear space functional on the discussion from three aspects:first of all,this is a normed linear space functional continuity and boundedness,functional and related knowledge。 I 目 錄 1 引言 ............................................................................................................................................ 1 2 線性賦范空間 ...................................................................................................................... 1 預(yù)備知識(shí) ........................................................................................................................... 2 線性賦范空間的一些性質(zhì) ................................................................................................ 3 3 線性有界泛函與共軛空間 ............................................................................................ 4 線性有界泛函 .................................................................................................................... 4 線性有界泛函與線性連續(xù)泛 函 ........................................................................................ 6 共軛空間 ........................................................................................................................... 8 4 線性有界算子 .................................................................................................................... 11 線性有界算子 定義與舉例 .............................................................................................. 11 線性有界算子與線性連續(xù)的關(guān)系 .................................................................................. 12 線性算子空間 .................................................................................................................. 14 有界性與閉性 .................................................................................................................. 16 致 謝 ........................................................................................................................................... 18 II 線性賦范空間泛函有界性研究 數(shù)學(xué)系本 1104 班 薛菊峰 指導(dǎo)教師： 何瑞強(qiáng) 摘要 ：本文研究的是線性賦范空間泛函有界性。then,relationship between bounded and continuous on normed linear space function,according to the equivalence of some related functional theory is derived and some related problems easy to understand and master。bounded linear operator 1 1 引言 有學(xué)者在這方面已經(jīng)做了一定的研究如：李宗鐸在《線性賦范空間中幾個(gè)概念的探討》證明了當(dāng)給線性賦范空間裝備以相應(yīng)的拓?fù)?，與線性拓?fù)淇臻g體系 下所定義的線性賦范空間，有界集、線性算子的有界性等概念是等效的，同時(shí)嚴(yán)格證明了有界線性算子范數(shù)兩種規(guī)定的一致性；王艷博、張?jiān)品逶凇蛾P(guān)于泛函分析中定理的推廣》對(duì)于賦范空間 X 和 Y ，從 X 到 Y 的全體線性有界算子 ? ?YXB , 關(guān)于算子范數(shù)亦成為賦范空間，且知當(dāng) Y 是完備空間時(shí)， ? ?YXB , 也是完備的。第 1 章介紹了線性賦范空間泛函有界性的發(fā)展概述及問(wèn)題的提出，以及本論文的主要內(nèi)容；第 2 章闡述了與線性賦范空間泛函有界性相關(guān)的的一些概念以及其它一些有界性相關(guān)的性質(zhì)；第 3章談?wù)摿司€性賦范空間泛函有界性與泛函連續(xù)性之間的等價(jià)關(guān)系，并給出相關(guān)的例題進(jìn)行兩者之間的等價(jià)變換；第 4 章推廣泛函有界性到兩個(gè)賦范空間中去，得出一些線性有界算子的結(jié)論。 預(yù)備知識(shí) 命題 線性賦范空間：如果 X 是實(shí)數(shù)域（或復(fù)數(shù)域） K 上的線性空間 ， 在 X 上定義映射 ： 1 :xXR? ? ? ，如果 x y a ,XK? ? ?， ， 滿(mǎn)足以下三條： ??1 正定性： x 0 , x = 0 x= 0.?? ??2 正齊性： x = x?? ??3 三角不等式： x+y x y?? 則稱(chēng) x 為 x 的范數(shù)，稱(chēng) x ?（ ， ） 為線性賦范空間，簡(jiǎn)記為 X。 分析 ： xypl??， ， ? ?1, 2 ny y y y? K?? 加法： ? ?1 1 2 2,x y x y x y? ? ? ? 數(shù)乘 : ? ?12, nx x x x? ? ? ?? 從而 pl 是線性空間。 例 3：設(shè) ?? ?,1pL a b p? ?? 為 ?,ab?? 上 p 方 L 可積函數(shù)的全體，其中幾乎處處相等的函數(shù)視為同一函數(shù)，幾乎處處為零的函數(shù)看作零元。（簡(jiǎn)稱(chēng) ??nx 收斂于x），記為 limnn xx?? ?或 ? ?.nx x n? ? ? 線性賦范空間的一些性質(zhì) 引理 如果 X 是線性賦范空間， ? ? ? ?nnx y X?、 ??1 有界性： 如果 ? ?.nx x n? ? ?則 ? ?nx 有界。 ??2 因?yàn)椋?? ?,nnx x y y n? ? ? ?所以： lim 0nn xx?? ?? lim 0.nn yy?? ??于是有： . ? ? ? ? ? ?l im l im l im l im 0n n n n n nn n n nx y x y x x y y x x y y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?從而有 ： lim ,nnn x y x y?? ? ? ?即 ? ?.nnx y x y n? ? ? ? ? l im l im 0 ,nnnnx x x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?‖ 即 ? ?.nx x n?? ? ? 定理 ：如果 X 是線性賦范空間， d 是由范數(shù)導(dǎo)致的距 離， 那么 0, , , ,x y z X k?? ? ?有 4 ??1 平移不變性： ? ? ? ?00, , .d x z y z d x y? ? ? ??2 絕對(duì)齊次性： ? ? ? ?, , .d x y d x y? ? ?? 證明： ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, , .d x z y z x z y z x y d x y? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) ? ? ? ?, , .d x y x y x y d x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 線性有界泛函與共軛空間 線性賦范空間泛函有界性在不少問(wèn)題的研究中常常起著重要的作用，又因其與連續(xù)泛函有著密切的聯(lián)系，所以對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的歸納、總結(jié)十分必要。 例 1：區(qū)別線